- 等差数列
- 共11217题
等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=2，且b2S2=32，b3S3=120．
（1）求an与bn；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
（3）若
正确答案
解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+（n-1）d，bn=2qn-1
依题意有
解得
故an=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）anbn=（2n+1）•2n．Tn=3•2+5•22++（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，2Tn=3•22+5•23++（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1，
两式相减得-Tn=3•2+2•22+2•23++2•2n-（2n+1）2n+1=2+22+23++2n+1-（2n+1）2n+1=2n+2-2-（2n+1）2n+1=（1-2n）2n+1-2，
所以Tn=（2n-1）•2n+1+2．
（3）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴
问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于
即
解析
解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+（n-1）d，bn=2qn-1
依题意有
解得
故an=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）anbn=（2n+1）•2n．Tn=3•2+5•22++（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，2Tn=3•22+5•23++（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1，
两式相减得-Tn=3•2+2•22+2•23++2•2n-（2n+1）2n+1=2+22+23++2n+1-（2n+1）2n+1=2n+2-2-（2n+1）2n+1=（1-2n）2n+1-2，
所以Tn=（2n-1）•2n+1+2．
（3）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴
问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于
即
设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上．
（1）求an的表达式；
（2）设
（3）将数列{an}依次按1项，2项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b100的值；
（4）如果将数列{an}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
正确答案
解：（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上，
∴Sn=n2+n．
a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n（n=1时也成立）．
∴an=2n（n∈N*）．
（2）
=
依题意，只要
（3）数列{an}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b2，b4，b6，…，b100，…组成一个首项b2=4+6=10，公差d=12
的等差数列．
所以b100=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求bn的值．
数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20．
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．
且b4=14+16+18+20=68．
当n=4k时，bn=68+80（k-1）=20n-12．
解析
解：（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上，
∴Sn=n2+n．
a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n（n=1时也成立）．
∴an=2n（n∈N*）．
（2）
=
依题意，只要
（3）数列{an}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b2，b4，b6，…，b100，…组成一个首项b2=4+6=10，公差d=12
的等差数列．
所以b100=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求bn的值．
数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20．
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．
且b4=14+16+18+20=68．
当n=4k时，bn=68+80（k-1）=20n-12．
等差数列{an}，a7=40，d=8，a1=______．
正确答案
-8
解析
解：根据等差数列的通项公式得：
a7=a1+（7-1）d=a1+6d，
∵a7=40，d=8
∴a1+48=40，
解得a1=-8．
故答案为：-8
在8和28中间插入四个数，使这六个数成等差数列，则插入的四个数依次为______．
正确答案
12，16，20，24
解析
解：在8和28中间插入四个数，共6个数，
设公差为d，则
∴插入的四个数依次为：12，16，20，24．
故答案为：12，16，20，24．
在锐角△ABC中，交A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列
（Ⅰ）若
（Ⅱ）求2sinA+sinC的取值范围．
正确答案
解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°；
（Ⅰ）当
∴c•a•cos60°=
∴ac=3；
又b=
∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2•
∴a2+c2=6；
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=6+2×3=12，
∴a+c=2
（Ⅱ）2sinA+sinC=2sin（120°-C）+sinC
=2sin120°cosC-2cos120°sinC+sinC
=
=
∴30°＜θ＜45°
∴60°＜C+θ＜135°，
∴
∴
∴2sinA+sinC的取值范围是（
解析
解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°；
（Ⅰ）当
∴c•a•cos60°=
∴ac=3；
又b=
∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2•
∴a2+c2=6；
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=6+2×3=12，
∴a+c=2
（Ⅱ）2sinA+sinC=2sin（120°-C）+sinC
=2sin120°cosC-2cos120°sinC+sinC
=
=
∴30°＜θ＜45°
∴60°＜C+θ＜135°，
∴
∴
∴2sinA+sinC的取值范围是（
已知等差数列{an}，其中
正确答案
50
解析
解：设等差数列{an}的公差等于d，∵
∴2a1+5d=4，即 
又 an=33，∴
故答案为50．
数列{an}中，an＞0，若S12，S22，…，Sn2，…是一个以1为首项，2为公差的等差数列，求an．
正确答案
解：∵S12，S22，…，Sn2，…是一个以1为首项，2为公差的等差数列，
∴
∵an＞0，
∴
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
a1=1不适合上式．
∴
解析
解：∵S12，S22，…，Sn2，…是一个以1为首项，2为公差的等差数列，
∴
∵an＞0，
∴
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
a1=1不适合上式．
∴
在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求它的通项公式．
正确答案
解：设等差数列{an}的公差为d，
由a5=10，a12=31得，
由a5=a1+4d=10，得a1=-2，
则an=-2+（n-1）×3=3n-5．
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
由a5=10，a12=31得，
由a5=a1+4d=10，得a1=-2，
则an=-2+（n-1）×3=3n-5．
已知数列{an}中，a2=1，an+1=2an+1，则a1=______．
正确答案
0
解析
解：因为a2=1，an+1=2an+1，
所以a2=2a1+1，解得a1=0，
故答案为：0．
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数是28，中间两数的和是10，求这四个数．
正确答案
解法一：设这四个数依次为a-d，a，a+d，
由已知得
解得
当a=
故所求四个数为-2，4，10，25或
解析
解法一：设这四个数依次为a-d，a，a+d，
由已知得
解得
当a=
故所求四个数为-2，4，10，25或
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