- 等差数列
- 共11217题
在数列7，9，11，13，…，中，99是第______项．
正确答案
47
解析
解：由数列的特点可知：
数列是以7为首项，9-7=2为公差的等差数列，
故其通项公式an=7+2（n-1）=2n+5，
令2n+5=99可解得n=47，故99是第47项，
故答案为47
在等比数列{an}中，各项都是正数，且2a1，
正确答案
2
解析
解：由题意设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
∵2a1，
∴2×
∵a1≠0，
∴q2-q-2=0，
解得q=2或q=-1（舍去）；
∴公比q=2．
故答案为：2．
已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n，对任意n∈N*都成立，数列{bn-1-bn}是等差数列，则数列{bn}的通项公式为______．
正确答案
bn=n2-7n+14
解析
解：∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n（n∈N*）①
∴当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8（n-1）（n∈N*）②
①-②得2n-1an=8，解得an=24-n，
在①中令n=1，可得a1=8=24-1，∴an=24-n（n∈N*）
由题意b1=8，b2=4，b3=2，∴b2-b1=-4，b3-b2=-2，
∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-（-4）=2，
∴bn+1-bn=-4+（n-1）×2=2n-6，
∴bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=8+（-4）+（-2）+…+（2n-8）=n2-7n+14
故答案为：bn=n2-7n+14
已知等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a5成等比数列，则a2=______．
正确答案
-8
解析
解：由a2，a4，a5成等比数列，得到a42=a2a5，即（a1+6）2=（a1+2）（a1+8）
化简得：12a1+36=10a1+16，解得：a1=-10，
则a2=-10+2=-8．
故答案为：-8
已知等差数列{an}为递增数列，前n项和为Sn，n∈N*，且S3=a5，a1与S5的等比中项为5．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）数列{bn}满足bn=pn-an，且{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，若对任意n∈N*都有Tn≤T6，求实数p的取值范围．
正确答案
解：（I）由题意
∴
∵{an}为递增的等差数列，
∴d＞0，∴
∴an=2n-1（n∈N*）
（II）bn=pn-2n+1=（p-2）n+1=p-1+（p-2）（n-1），
所以bn是首项为p-1，公差为p-2的等差数列，
Tn=n（p-1）+
由Tn≤T6，n=6时最大，知Tn开口向下，
∴p＜2且
∴
解析
解：（I）由题意
∴
∵{an}为递增的等差数列，
∴d＞0，∴
∴an=2n-1（n∈N*）
（II）bn=pn-2n+1=（p-2）n+1=p-1+（p-2）（n-1），
所以bn是首项为p-1，公差为p-2的等差数列，
Tn=n（p-1）+
由Tn≤T6，n=6时最大，知Tn开口向下，
∴p＜2且
∴
等差数列{an}中，若a3+a4+a5=12，则a1+a7=______．
正确答案
8
解析
解：因为数列{an}是等差数列，根据等差中项的概念有：a3+a5=2a4，
由a3+a4+a5=12，所以，3a4=12，则a4=4．
所以a1+a7=2a4=2×4=8．
故答案为8．
已知等差数列{an}的前n项和为 Sn
（I）若a1=1，S10=100，求{an}的通项公式；
（II）若Sn=n2-6n，解关于n的不等式Sn+an＞2n．
正确答案
解：（I）设{an}的公差为d
因为a1=1，
所以a10=19
所以
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（II）因为
当n≥2时，
所以
又n=1时，a1=S1=-5适合上式，
所以an=2n-7．
所以
所以不等式Sn+an＞2n化为n2-4n-7＞2n，即n2-6n-7＞0
所以n＞7或n＜-1，
所以n＞7，n∈N．
则不等式Sn+an＞2n的解集为{n|n＞7，n∈N}．
解析
解：（I）设{an}的公差为d
因为a1=1，
所以a10=19
所以
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（II）因为
当n≥2时，
所以
又n=1时，a1=S1=-5适合上式，
所以an=2n-7．
所以
所以不等式Sn+an＞2n化为n2-4n-7＞2n，即n2-6n-7＞0
所以n＞7或n＜-1，
所以n＞7，n∈N．
则不等式Sn+an＞2n的解集为{n|n＞7，n∈N}．
在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求数列{an}首项的首项a1与公差d．
正确答案
解：由题意可得a5=a1+4d=10，a12=a1+11d=31，
解之可得a1=-2，d=3
故数列{an}首项的首项a1=-2，公差d=3
解析
解：由题意可得a5=a1+4d=10，a12=a1+11d=31，
解之可得a1=-2，d=3
故数列{an}首项的首项a1=-2，公差d=3
在等差数列{an}中，已知a3=10，a9=28，则a12的值为______．
正确答案
37
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
则
∴a12=a3+3（12-3）=37．
故答案为：37．
已知等差数列{an}满足：a1=1，S5=25，则数列{an}的通项公式an=______．
正确答案
2n-1
解析
解：由等差数列{an}的前n项和公式可得：25=S5=
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
故答案为2n-1．
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