等差数列_章节学习

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}中，an＞0，且a1a2+a1a4+a2a5+a4a5=36，则a3=______．

正确答案

3

解析

解：由题意可得a1a2+a1a4+a2a5+a4a5

=a1a2+a2a5+a1a4+a4a5=a2（a1+a5）+a4（a1+a5）

=（a1+a5）（a2+a4），

由等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3，

代入上式可得4=36，结合an＞0，解得a3=3，

故答案为：3

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．

（Ⅰ）求{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知，an=（n∈N*），

易得bn=3an-2=3n-2；

（Ⅱ）cn=an•bn=（3n-2）•，

∴cn+1-cn=（3n+1）•-（3n-2）•=9（1-n）•（n∈N*），

∴当n=1时，c2=c1=，

当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞c4＞…＞cn，

∴当n=1时，cn取最大值是，又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立，

∴m2+m-1≥，即m2+4m-5≥0，

解得：m≥1或m≤-5．

解析

解：（Ⅰ）由题意知，an=（n∈N*），

易得bn=3an-2=3n-2；

（Ⅱ）cn=an•bn=（3n-2）•，

∴cn+1-cn=（3n+1）•-（3n-2）•=9（1-n）•（n∈N*），

∴当n=1时，c2=c1=，

当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞c4＞…＞cn，

∴当n=1时，cn取最大值是，又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立，

∴m2+m-1≥，即m2+4m-5≥0，

解得：m≥1或m≤-5．

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}的公差为5，则|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a9|的最小值为______．

正确答案

100

解析

解：∵等差数列{an}的公差为5，

∴an=a1+（n-1）d=a1+5（n-1）；

又|x-an|≥0，

∴|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a9|≥|a5-a1|+|a5-a2|+…+|a5-a9|

=4d+3d+2d+d+0+d+2d+3d+4d

=20d=20×5=100；

∴|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a9|的最小值为100．

故答案为：100．

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题型：简答题

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简答题

等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50．

（1）求数列{an}的通项an；

（2）若Sn=242，求n；

（3）令，求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（1）由an=a1+（n-1）d，a10=30，a20=50，得方程组，解得a1=12，d=2．∴an=12+（n-1）•2=2n+10…（3分）

（2）由得方程

解得n=11或n=-22（舍去），∴n=11…（6分）

（3）…（7分）…（9分）

两式相减得：…（10分）∴

=-+n•2n+1=（n-1）•2n+1+2…（12分）

解析

解：（1）由an=a1+（n-1）d，a10=30，a20=50，得方程组，解得a1=12，d=2．∴an=12+（n-1）•2=2n+10…（3分）

（2）由得方程

解得n=11或n=-22（舍去），∴n=11…（6分）

（3）…（7分）…（9分）

两式相减得：…（10分）∴

=-+n•2n+1=（n-1）•2n+1+2…（12分）

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题型：填空题

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填空题

在-1与9之间插入两个数，得到数列-1，x，y，9，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则其中的一组数列是______．

正确答案

-1，1，3，9或

解析

解；∵前三个数成等差数列，∴2x=-1+y，

∵后三个数成等比数列，∴y2=9x

由，得y=3或

当y=3时，x=1，当y=时，x=

∴这组数列为-1，1，3，9或-1，，，9

故答案为-1，1，3，9或-1，，，9

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题型：简答题

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简答题

已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S18：S9=7：8

（Ⅰ）求证：S3，S9，S6依次成等差数列；

（Ⅱ）a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的项？，如果是，是{an}中的第几项？如果不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为q，

若q=1，则S18=18a1，S9=9a1，不满足S18：S9=7：8，故q≠1；

∴S18=（1-q18），S9=（1-q9），

∵S18：S9=7：8，∴1+q9=，解得q3=-，

∴S3=（1-q3）=•，

同理可得S9=•，S6=•，

∴2S9=S3+S6，

∴S3，S9，S6依次成等差数列；

（Ⅱ）∵a7与a10的等差中项等于==，

设a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的第n项，则a1（-）n-1=，

化简可得=（-2）-4，即=-4，解得n=13，

∴a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的第13项

解析

解：（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为q，

若q=1，则S18=18a1，S9=9a1，不满足S18：S9=7：8，故q≠1；

∴S18=（1-q18），S9=（1-q9），

∵S18：S9=7：8，∴1+q9=，解得q3=-，

∴S3=（1-q3）=•，

同理可得S9=•，S6=•，

∴2S9=S3+S6，

∴S3，S9，S6依次成等差数列；

（Ⅱ）∵a7与a10的等差中项等于==，

设a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的第n项，则a1（-）n-1=，

化简可得=（-2）-4，即=-4，解得n=13，

∴a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的第13项

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题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，已知am+n=A，am-n=B，则am=______．

正确答案

解析

解：∵m-n，m，m+n成等差数列，又{an}是等差数列．∴am-n，am，am+n成等差数列，

∴2am=am-n+am+n=A+B，∴am=（A+B）．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

已知Sn为等差数列{bn}的前n项和，若S9=27，则a5=______．

正确答案

3

解析

解：∵等差数列{bn}的前9项和S9=27，

∴，

故答案为：3

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13．

（Ⅰ）求an及Sn；

（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

因为S5=5a3=35，a5+a7=26，

所以，…（2分）

解得a1=3，d=2，…（4分）

所以an=3+2（n-1）=2n+1；

Sn=3n+×2=n2+2n．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，

所以bn==…（8分）

=，…（10分）

所以Tn=．…（12分）

解析

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

因为S5=5a3=35，a5+a7=26，

所以，…（2分）

解得a1=3，d=2，…（4分）

所以an=3+2（n-1）=2n+1；

Sn=3n+×2=n2+2n．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，

所以bn==…（8分）

=，…（10分）

所以Tn=．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=-π，则tana7=______．

正确答案

解析

解：因为数列{an}是等差数列，所以a1+a13=2a7，

由a1+a7+a13=-π，所以3a7=-π，则，

则．

故答案为．

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