- 等差数列
- 共11217题
体育场一角的看台的座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排能坐多少个人？
正确答案
解：由题意可得数列{an}为等差数列，
首项a1=15，公差d=2，
∴an=15+2（n-1）=2n+13，
∴a10=2×10+13=33，
∴第10排能坐多33人
解析
解：由题意可得数列{an}为等差数列，
首项a1=15，公差d=2，
∴an=15+2（n-1）=2n+13，
∴a10=2×10+13=33，
∴第10排能坐多33人
若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
正确答案
解：由题意设三个数分别为a-d，a，a+d，则
（a-d）+a+（a+d）=15，（a-d）2+a2+（a+d）2=83，
解得a=5，d=±2．
所以这三个数分别为3、5、7；或7、5、3．
解析
解：由题意设三个数分别为a-d，a，a+d，则
（a-d）+a+（a+d）=15，（a-d）2+a2+（a+d）2=83，
解得a=5，d=±2．
所以这三个数分别为3、5、7；或7、5、3．
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且
（3）正数数列{cn}中，an+1=（cn）n+1（n∈N*），求数列{cn}中的最大项．
正确答案
解：（1）由已知，对于任意n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
所以2Sn-1=an-1+an-12②
①-②得，2an=an+an2-an-1-an-12，
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n（n∈N*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有
∴
（3）由已知
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞c5，
猜想n≥2时，{cn}是递减数列
令
则
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由an+1=（cn）n+1（n∈N*），知
∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为
解析
解：（1）由已知，对于任意n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
所以2Sn-1=an-1+an-12②
①-②得，2an=an+an2-an-1-an-12，
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n（n∈N*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有
∴
（3）由已知
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞c5，
猜想n≥2时，{cn}是递减数列
令
则
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由an+1=（cn）n+1（n∈N*），知
∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为
设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a1+a2+a3+…+an=0；
②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为Sk（k=1，2，3，…，n），试证：|Sk|≤
正确答案
解：（1）数列
数列
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
∵a1+a2+…+a2013=0，∴
∴a1+a2013=0，即a1007=0，
∴a1008=d，
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013=
∴1006d+
∴an=a1007+（n-1007）d=
当d＜0时，同理可得an=
（Ⅲ）当k=n时，显然|Sn|=0
当k＜n时，根据条件①得：Sk=a1+a2+…+ak=-（ak+1+ak+2+…+an），
即|Sk|=|a1+a2+…+ak|=|ak+1+ak+2+…+an|，
∴2|Sk|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1+ak+2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+…+|an|=1，
∴|Sk|
解析
解：（1）数列
数列
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
∵a1+a2+…+a2013=0，∴
∴a1+a2013=0，即a1007=0，
∴a1008=d，
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013=
∴1006d+
∴an=a1007+（n-1007）d=
当d＜0时，同理可得an=
（Ⅲ）当k=n时，显然|Sn|=0
当k＜n时，根据条件①得：Sk=a1+a2+…+ak=-（ak+1+ak+2+…+an），
即|Sk|=|a1+a2+…+ak|=|ak+1+ak+2+…+an|，
∴2|Sk|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1+ak+2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+…+|an|=1，
∴|Sk|
（2015秋•松山区校级月考）已知等差数列{an}中，且a3=-1，a6=-7．
（1）求{an}的通项an；
（2）求{an}前n项和Sn的最大值．
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=-1，a6=-7．
∴
∴an=3-2（n-1）=5-2n．
（2）令an=5-2n≥0．解得n≤2．
∴当n=2时，{an}前n项和Sn取得最大值S2=3+1=4．
解析
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=-1，a6=-7．
∴
∴an=3-2（n-1）=5-2n．
（2）令an=5-2n≥0．解得n≤2．
∴当n=2时，{an}前n项和Sn取得最大值S2=3+1=4．
一个等差数列{an}中，
正确答案
由题意可得：
因为数列{an}是等差数列，
所以设数列{an}的通项公式为：an=a1+（n-1）d，则a2n=a1+（2n-1）d，
所以
因为
所以a1-d=0或d=0，
所以
故答案为：{ 1 ， 
设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S3=9，S6=36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{bn}的通项公式为bn=3n-2．集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，求{cn}的通项公式．
正确答案
（1）设等差数列{an}的公差是d，
由S3=9和S6=36，
得
∴an=a1+（n-1）d=2n-1，
故数列{an}的通项公式an=2n-1．
（2）存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列．
∵存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列，
∴（2m-1）（2k-1）=（2m+9）2，
∴2k-1=
即k=m+10+
∴存在正整数m，k，使am，am+5，ak成等比数列，
m，k的值分别是m=1，k=61或m=3，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，
a3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，
a3k=2•3k-1=6k-1，
b2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a3k-2，
b2k=3•2k-2=6k-2∉A，
∴a3k-2=b2k-1＜a3k-1＜b2k＜a3k，k=1，2，3，…，
即当n=4k-3，k∈N*时，cn=6k-5；
当n=4k-2，k∈N*时，cn=6k-3；
当n=4k-1，k∈N*时，cn=6k-2；
当n=4k，k∈N*时，cn=6k-1．
∴{cn}的通项公式是cn=
即cn=
已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为（
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求数列{an} 的通项公式；
（3）设bn=
正确答案
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）…（1分）
由条件可知
解得a=3，b=-2，c=0，…（3分）
∴f（x）=3x2-2x．…（4分）
（2）又点（n，Sn）在函数y=f（x）的图象上，则Sn=3n2-2n…（5分）
当n=1时，a1=S1=3-2=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3（n-1）2+2（n-1）=6n-5…（6分）
对于上式，当n=1时，也有a1=1，…（7分）
所以通项公式为an=6n-5…（8分）
（3）由（2）知an=6n-5，bn=
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=
①×
①-②有
=
∴Tn=7-3(
已知函数f(x)=
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）是否存在各项均不为零的数列{an}，满足4Snf(
正确答案
（本小题满分14分）
（Ⅰ）由f（0）=0，得a=0．
由f（2）=2，f(-2)＜-
解得 b=c=2．
因此，a=0，b=c=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=
设存在各项均不为零的数列{an}，满足4Snf(
首先，当n=1时，a1=S1=-1；…（7分）
由 2Sn+1=an+1-an+12，2Sn=an-an2，得2an+1=2Sn+1-2Sn=an+1-an+12-an+an2，即（an+1+an）（an+1-an+1）=0．…（9分）
若 an+1+an=0，则由a1=-1，得a2=1，这与an≠1矛盾．…（10分）
若 an+1-an+1=0，则 an+1-an=-1．
因此，{an}是首项这-1，公差为-1的等差数列．
通项公式为 an=-n．
综上可得，存在数列{an}，an=-n符合题中条件．…（11分）
由上面的解答过程可知，数列{an}只要满足条件（an+1+an）（an+1-an+1）=0即可．
因此，可以数列一部分满足an+1-an=-1，另一部分满足an+1+an=0，且保证an≠0且an≠1．
例如：数列-1，-2，2，-2，2，-2，2，…；
数列-1，-2，2，-2，-3，3，-3，-4，4，-4，…
因此，满足条件的数列不唯一．…（14分）
设函数f(x)=ax2-2
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a是整数时，存在实数x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，且g（x0）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）；
（3）定义函数h（x）=-（x-2k）2-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）．
正确答案
（1）当b=0 时，f（x）=ax2-4x，（1分）
若a=0，则f（x）=-4x 在[2，+∞） 上递减，不合题意，舍去；（2分）
故a≠0，要使f（x） 在[2，+∞） 上单调递增，则
（2）若a=0，则f（x）=-2
于是f（x）为二次函数，f（x）有最大值⇒
此时，当x=x0=
显然，当且仅当x=x0=a时，g（x）取到最小值，故
于是a2=
又a∈Z，a＜0，所以a=-1，b=-1，3，（13分）
所以满足题意的实数对为（a，b）=（-1，-1），或（a，b）=（-1，3）；（14分）
（3）∵h（x）=-x2+4kx-4k2-2x+k=-[x-（2k-1）]2+1（16分）
∴h（x）取得最小值时x的值为2k-1（k∈N），∴xn=2n-3，n∈N*．（18分）
扫码查看完整答案与解析