热门试卷

（1）易得c=0，设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则f'（x）=2ax+b．…（1分）

由于f'（x）=6x-2，得：a=3，b=-2…（2分）

所以f（x）=3x2-2x．…（3分）

（2）由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，又f（x）=3x2-2x，

所以Sn=3n2-2n．…（4分）

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；…（6分）

当n=1时，a1=S1=3×12-2=5．…（7分）

所以，an=6n-5（n∈N*）…（8分）

（3）由（2）得知bn===…（9分）

=(-)，…（11分）

故Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]

=(1-)．…（12分）

要使Tn=(1-)=-＜f（x）（[1，e]）成立，需要满足≤a，…（13分）

即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．…（14分）

（I）∵f（x）=ax2+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b

由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x2+7x

又因为点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以有Sn=-n2+7n

当n=1时，a1=S1=6

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n+8，∴an=-2n+8（n∈N*）

令an=-2n+8≥0得n≤4，∴当n=3或n=4时，Sn取得最大值12

综上，an=-2n+8（n∈N*），当n=3或n=4时，Sn取得最大值12

（II）由题意得b1==8，bn==2-n+4

所以=，即数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列，bn=8()n-1=24-n

故{nbn}的前n项和Tn=1×23+2×22++n×2-n+4①

Tn=1×22+2×2++(n-1)×2-n+4+n×2-n+3②

所以①-②得：Tn=23+22++2-n+4-n×2-n+3

∴Tn=-n•24-n=32-(2+n)24-n

（1）由已知得an+1+=(an+)++，

即4an+1+1=4an+1+2+1，（2分）

所以bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1，

又b1=1，所以数列{bn}为等差数列，

通项公式为bn=n（n∈N*）．

（2）令cn=Tn，

由Tn=，

得==×

==＜1

所以，数列{cn}为单调递减数列，（8分）

所以数列{cn}的最大项为c1=，

若不等式Tn＜log2(a+1)对一切n∈N*都成立，只需＜log2(a+1)，

解得a＞-1，

又a＞0，a≠1，

所以a的取值范围为(-1，1)∪(1，+∞)．（12分）

（3）问题可转化为比较nn+1与（n+1）n的大小．

设函数f(x)=，所以f′(x)=．

当0＜x＜e时，f'（x）＞0；

当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．

当n=1，2时，显然有nn+1＜（n+1）n，

当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即＞，

所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnn+1＞ln（n+1）n，

所以nn+1＞（n+1）n．

综上：当n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，即bnbn+1＜bn+1bn；

当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即bnbn+1＞bn+1bn．（16分）

（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）

求导函数可得f′（x）=+a

当a≥0时，+a＞0，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；

当a＜0时，+a＞0，函数在（-1，-1-）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-）

+a＜0，函数在（-1-，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-，+∞）；

（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜等价于ln（x+1）+＜0

令g（x）=ln（x+1）+，则g′（x）=

∵x∈（0，5），∴函数在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减

∴g（x）max=ln（+1）+＜0

∴x∈（0，5）时，f(x)＜成立．

（1）∵f（0）=c=0

∴c=0，

f′（x）=2ax+b=2x+1

∴a=1，b=1

（2）依题意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，an+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，

∴a（n+1）-an=2，a1=5

∴数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，

∴an=5+（n-1）×2=2n+3

（3）bn==-，{bn}的前n项和 Sn=-+-+…+--=--=

（1）由于f(x)=sincos+2013=sinx+2013，令f′（x）=0得，x=kπ+（k∈Z）．

故函数f（x）极值点为x=kπ+（k∈Z）．

又∵函数f(x)=sincos+2013在区间（0，+∞）内的全部极值点构成数列{an}，

故数列{an}是以为首项，π为公差的等差数列，∴an=+（n-1）•π=π（n∈N*）．…．（6分）

（2）∵bn=2nan=（2n-1）•2n，

∴Tn=[1•2+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n]，

2Tn=[1•22+3•23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1]，

两式相减，得-Tn=[1•2+2•22+2•23+…+2•2n-（2n-1）•2n+1]，

∴Tn=π[（2n-3）•2n+3]．…（12分）

（1）∵f′(x)=-1，

由-1＞0，得-a＜x≤1-a，

由，得x＞1-a，

故f（x）在（-a，1-a]上是单调增函数，在[1-a，+∞）上是单调减函数．

（2）①∵anan+1-2an+1+1=0，

∴an+1=，1-an+1=1-=，

∴== +1(a1≠1)，

∴{}是公差为1的等差数列，且首项为=2，

故=n+1，

∴an=1-．

②由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是单调减函数，又f（0）=0，

∴x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．

∴对于k∈N+，＞ln(1+)=ln（k+2）-ln（k+1），

∵ak=1-＜1-(ln(k+2)-ln(k+1))，

∴Sn=a1+a2+…+an

＜1-（ln3-ln2）+1-（ln4-ln3）+…+（ln（n+2）-ln（n+1））

=n+ln2-ln（n+2）

＜n+1-ln（n+2）．

（1）设等差数列{an}的通项为an=a1+（n-1）d，

由题得：a1+d=2，a1+4d=11，（2分）

解得：a1=-1，d=3，an=3n-4（4分）

（2）由（1）得：Sn=（6分）

∴bn=

则b1=，b2=，b3=，

∵{bn}是等差数列，

则=+

∴a=-，bn=（8分）

又∵cn=2b2n=23n

∴c1+c2+…+cn=(8n-1)（10分）

故==（12分）