- 等差数列
- 共11217题
在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2,c2,b2成等差数列,则角C的最大值为______.
正确答案
∵a2,c2,b2成等差数列,
∴2c2=a2+b2,
∴cosC=≥
=
=
,当且仅当a=b时取等号,
∵C为三角形的内角,
∴0<C≤60°,
则C的最大值为60°.
故答案为:60°
设等差数列{an},{bn}前n项和Sn,Tn满足=
,且
+
=
,S2=6;函数g(x)=
(x-1),且cn=g(cn-1)(n∈N,n>1),c1=1.
(1)求A;
(2)求数列{an}及{cn}的通项公式;
(3)若dn=,试求d1+d2+…+dn.
正确答案
(1)∵{an},{bn}是等差数列,
由+
=
,得
+
=
=
=
,
而=
=
=
,
∴=
,解得A=1;
(2)令Sn=kn(n+1),∵S2=6,得6k=6,k=1,即Sn=n2+n.
当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,
该式对n=1时成立,所以an=2n;
由题意cn=(cn-1-1),变形得cn+1=
(cn-1+1)(n≥2),
∴数列{cn+1}是为公比,以c1+1=2为首项的等比数列.
cn+1=2•()n-1,即cn=(
)n-2-1;
(3)当n=2k+1时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k+1)+(c2+c4+…+c2k)
=[2+6+10+…+2(2k+1)]+[(1-1)+(-1)+…+(
-1)]
=2(k+1)2+[1-(
)k]-k=2k2+3k+2+
[1-(
)k]
=+
[1-(
)n-1].
当n=2k时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k-1)+(c2+c4+…+c2k)
=[2+6+10+…+2(2k-1)]+[(1-1)+(-1)+…+(
-1)]
=2k2-k+[1-(
)k]=
+
[1-(
)n].
综上:d1+d2+…dn=.
设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求的值;
(2)若a5=3,求an及Sn的表达式.
正确答案
(1)设Sn的公差为d,
∵S1,S2,S4成等比,
∴,S22=S1S4
即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),化简得d2=2a1d,
又d≠0,
∴d=2a1
0≤x≤3
∴=
=
=
(2)∵a5=a1+4d=9a1=3,
∴a1=,d=
an=a1+(n-1)d=,
Sn=n=
已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn+8n+3,数列{dn}满足d1=c1,dn+1=cdn(n∈N*).求数列{dn}的前n项和Dn;
(3)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x1,x2,恒有g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a(a为常数,a≠0),试判断数列{}是否为等差数列,并说明理由.
正确答案
(Ⅰ)依题意得an=-2n-2,故a1=-4.
又2Tn=6Sn+8n,即Tn=3Sn+4n,
∴当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=3(Sn-Sn-1)+4=3an+4=-6n-2.
又b1=T1=3S1+4=3a1+4=-8,也适合上式,
∴bn=-6n-2(n∈N*).
(Ⅱ)∵cn=bn+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N*),
dn+1=cdn=2dn+1,
因此dn+1+1=2(dn+1)(n∈N*).
由于d1=c1=3,
∴{dn+1}是首项为d1+1=4,公比为2的等比数列.
故dn+1=4×2n-1=2n+1,
∴dn=2n+1-1.
Dn=(22+23++2n+1)-n=-n=2n+2-n-4.
(Ⅲ)g()=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)
则=
=
=
+
=
+
∴-
=
因为已知a为常数,则数列{}是等差数列.
设f(x)=,x=f(x)有唯一解,f(x1)=
,f(xn)=xn+1(n∈N*).
(Ⅰ)求x2004的值;
(Ⅱ)若an=-4009,且bn=
(n∈N*),求证:b1+b2+…+bn-n<1;
(Ⅲ)是否存在最小整数m,使得对于任意n∈N*有xn<成立,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
正确答案
解(Ⅰ)由x=,可以化为ax(x+2)=x,
∴ax2+(2a-1)x=0,
由△=(2a-1)2=0得
当且仅当a=时,x=f(x)有惟一解x=0,
从而f(x)=…(1分)
又由已知f(xn)=xn+1得:=xn+1,
∵=
+
,
即-
=
(n∈N*)
∴数列{}是首项为
,公差为
的等差数列…(3分)
∴=
+
=
,
∴xn=
又∵f(x1)=,
∴=
,即x1=
…(4分)
∵xn==
…(5分)
故x2004==
…(6分)
(Ⅱ)证明:∵xn=,
∴an=×4-4009=2n-1…(7分)
∴bn==
=
=1+=1+
-
…(8分)
∴b1+b2+…+bn-n=(1+1-)+(1+
-
)+…+(1+
-
)-n
=1-<1…(10分)
(Ⅲ)由于xn=,若
<
(n∈N*)恒成立,
∵()max=
,
∴>
,
∴m>2,而m为最小正整数,
∴m=3…(12分)
已知函数{an}满足:a1=2t,t2-2tan-1+an-1an=0,n=2,3,4,…(其中t为常数且t≠0).
(I)求证:数列{}为等差数列;
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)设bn=n•2nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
正确答案
(I) 证明:(1)∵t2-2tan-1+an-1an=0,∴(t2-tan-1)-(tan-1-an-1an)=0,即 t(t-an-1)=an-1(t-an).
∵t-an-1≠0,∴=
,即
=
=
+
,
∴-
=
(为常数),∴数列{
}为等差数列.
(II)由上可得数列{}为等差数列.公差为
,∴
=
+(n-1)
=
.
∴an =+t.
(3)∵bn=n•2nan=(n+1)t2n,
∴sn=t[2×21+3×22+…+(n+1)2n]①.
∴2sn=t[2×22+3×23+…+n 2n+(n+1)2n+1]②.
①-②可得-sn=t[[2×21+22+23+…+2n-(n+1)2n+1]=[2+( 2n+1-2)-(n+1)2n+1]=-n 2n+1,
∴sn=n 2n+1.
设等比数列{an}的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;数列{an}满足2n2-(t+bn)n+bn=0(t∈R,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)试确定实数t的值,使得数列{bn}为等差数列.
正确答案
(1)由题意,6a3=8a1+a5,则6q2=8+q4,解得q2=4或q2=2,
因为q为正整数,所以q=2,又a1=2,所以an=2n(2)当n=1时,2-(t+b1)+b1=0,得b1=2t-4,
同理可得:n=2时,b2=16-4t,n=3时,b3=12-2t,
则由b1+b3=2b2,得t=3,
并且,当t=3时,2n2-(3+bn)n+bn=0,
得bn=2n,由bn+1-bn=2,知此时数列{bn}为等差数列.
故答案为:t=3.
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+pn,数列{bn}的前n项和为Tn=3n2-2n.
(1)若a10=b10,求p的值.
(2)取数列{bn}的第1项,第3项,第5项,…,构成一个新数列{cn},求数列{cn}的通项公式.
正确答案
(1)由已知,an=Sn-Sn-1=(n2+pn)-[(n-1)2+p(n-1)]=2n-1+p(n≥2),
bn=Tn-Tn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5(n≥2).
∴a10=19+p,b10=55.
由a10=b10,得19+p=55,
∴p=36.
(2)b1=T1=1,满足bn=6n-5.
∴数列{bn}的通项公式为bn=6n-5.
取{bn}中的奇数项,所组成的数列的通项公式为b2k-1=6(2k-1)-5=12k-11.
∴cn=12n-11.
设数列{an}是等差数列,a5=6,a3=2时,若自然数k1,k2,…,kn…(n∈N*)满足5<k1<k2<…<kn<…,使得a3,a5,ak1ak2,…akn,…成等比数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{kn}的通项公式及其前n项的和.
正确答案
(1)∵等差数列{an}中,a5=6,a3=2
∴{an}的公差d==
=2,可得a1=a3-2d=-2
因此,{an}的通项公式为an=a1+(n-3)×2=2n-4
(2)∵2,6,ak1,ak2,…akn,…成等比数列,
∴该数列的公比q==3,可得akn=2•3n+1,
又∵akn 是等差数列{an}中的第kn项,∴ak n=2kn-4,
因此,2•3n+1=2kn-4,解之得kn=3n+1+2,
∴k1+k2+…kn=(32+2)+(33+2)+(34+2)+…+(3n+1+2)
=(32+33+…3n+1)+2n=(3n-1)+2n.
即数列{kn}的通项公式为:kn=3n+1+2,其前n项的和为(3n-1)+2n.
已知:函数f(x)=,数列{an}对n≥2,n∈N总有an=f(
),a1=1;
(1)求{an}的通项公式.
(2)求和:Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1
(3)若数列{bn}满足:①{bn}为{}的子数列(即{bn}中的每一项都是{
}的项,且按在{
}中的顺序排列)②{bn}为无穷等比数列,它的各项和为
.这样的数列是否存在?若存在,求出所有符合条件的数列{bn},写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)由f(x)=,又an=f(
)=
=
=an-1+
(2分)
所以,{an}是以a1=1为首项,为公差的等差数列,即an=
(n∈N*)(4分)
(2)当n为偶数,an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-an
所以 Sn=-(a2+a4+…an)=-
=-
n2-
n(6分)
当n为奇数,则n-1为偶数,Sn=Sn-1+anan+1=-(n-1)2-
(n-1)+
=
(8分)
综上:Sn=(10分)
(3)设b1=,公比q=
>0,则b1qn=
•
=
(k,p∈N*)对任意的n∈N*均成立,故m是正奇数,又S存在,所以m>1(12分)
当m=3时,S=,此时b1=
,bn=
,成立 (13分)
当m=5时,S=,此时b1=
∉{
}故不成立 (14分)
m=7时,S=,此时b1=
,bn=
,成立 (15分)
当m≥9时,1-≥
,由S=
,得b1≥
,设b1=
,则k≤
,又因为k∈N*,所以k=1,2,此时b1=1或b1=
分别代入S=
=
,得到q<0不合题意(18分)
由此,满足条件(3)的{bn}只有两个,即bn=或bn=
(20分)
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