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题型:填空题
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填空题

在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2,c2,b2成等差数列,则角C的最大值为______.

正确答案

∵a2,c2,b2成等差数列,

∴2c2=a2+b2

∴cosC===,当且仅当a=b时取等号,

∵C为三角形的内角,

∴0<C≤60°,

则C的最大值为60°.

故答案为:60°

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题型:简答题
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简答题

设等差数列{an},{bn}前n项和Sn,Tn满足=,且+=,S2=6;函数g(x)=(x-1),且cn=g(cn-1)(n∈N,n>1),c1=1.

(1)求A;

(2)求数列{an}及{cn}的通项公式;

(3)若dn=,试求d1+d2+…+dn.

正确答案

(1)∵{an},{bn}是等差数列,

+=,得+===

===

=,解得A=1;

(2)令Sn=kn(n+1),∵S2=6,得6k=6,k=1,即Sn=n2+n.

当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,

该式对n=1时成立,所以an=2n;

由题意cn=(cn-1-1),变形得cn+1=(cn-1+1)(n≥2),

∴数列{cn+1}是为公比,以c1+1=2为首项的等比数列.

cn+1=2•()n-1,即cn=()n-2-1;

(3)当n=2k+1时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k+1)+(c2+c4+…+c2k

=[2+6+10+…+2(2k+1)]+[(1-1)+(-1)+…+(-1)]

=2(k+1)2+[1-()k]-k=2k2+3k+2+[1-()k]

=+[1-()n-1].

当n=2k时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k-1)+(c2+c4+…+c2k

=[2+6+10+…+2(2k-1)]+[(1-1)+(-1)+…+(-1)]

=2k2-k+[1-()k]=+[1-()n].

综上:d1+d2+…dn=

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题型:简答题
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简答题

设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列.

(1)求的值;

(2)若a5=3,求an及Sn的表达式.

正确答案

(1)设Sn的公差为d,

∵S1,S2,S4成等比,

∴,S22=S1S4

即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),化简得d2=2a1d,

又d≠0,

∴d=2a1

0≤x≤3

===

(2)∵a5=a1+4d=9a1=3,

∴a1=,d=

an=a1+(n-1)d=

Sn=n=

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题型:简答题
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简答题

已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)设cn=bn+8n+3,数列{dn}满足d1=c1,dn+1=cdn(n∈N*).求数列{dn}的前n项和Dn

(3)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x1,x2,恒有g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a(a为常数,a≠0),试判断数列{}是否为等差数列,并说明理由.

正确答案

(Ⅰ)依题意得an=-2n-2,故a1=-4.

又2Tn=6Sn+8n,即Tn=3Sn+4n,

∴当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=3(Sn-Sn-1)+4=3an+4=-6n-2.

又b1=T1=3S1+4=3a1+4=-8,也适合上式,

∴bn=-6n-2(n∈N*).

(Ⅱ)∵cn=bn+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N*),

dn+1=cdn=2dn+1,

因此dn+1+1=2(dn+1)(n∈N*).

由于d1=c1=3,

∴{dn+1}是首项为d1+1=4,公比为2的等比数列.

故dn+1=4×2n-1=2n+1

∴dn=2n+1-1.

Dn=(22+23++2n+1)-n=-n=2n+2-n-4.

(Ⅲ)g()=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)

===+=+

-=

因为已知a为常数,则数列{}是等差数列.

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题型:简答题
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简答题

设f(x)=,x=f(x)有唯一解,f(x1)=,f(xn)=xn+1(n∈N*).

(Ⅰ)求x2004的值;

(Ⅱ)若an=-4009,且bn=(n∈N*),求证:b1+b2+…+bn-n<1;

(Ⅲ)是否存在最小整数m,使得对于任意n∈N*有xn<成立,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

正确答案

解(Ⅰ)由x=,可以化为ax(x+2)=x,

∴ax2+(2a-1)x=0,

由△=(2a-1)2=0得

当且仅当a=时,x=f(x)有惟一解x=0,

从而f(x)=…(1分)

又由已知f(xn)=xn+1得:=xn+1,

=+

-=(n∈N*)

∴数列{}是首项为,公差为的等差数列…(3分)

=+=

∴xn=

又∵f(x1)=

=,即x1=…(4分)

∵xn==…(5分)

故x2004==…(6分)

(Ⅱ)证明:∵xn=

∴an=×4-4009=2n-1…(7分)

∴bn===

=1+=1+-…(8分)

∴b1+b2+…+bn-n=(1+1-)+(1+-)+…+(1+-)-n

=1-<1…(10分)

(Ⅲ)由于xn=,若(n∈N*)恒成立,

∵()max=

∴m>2,而m为最小正整数,

∴m=3…(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知函数{an}满足:a1=2t,t2-2tan-1+an-1an=0,n=2,3,4,…(其中t为常数且t≠0).

(I)求证:数列{}为等差数列;

(II)求数列{an}的通项公式;

(III)设bn=n•2nan,求数列{bn}的前n项和Sn

正确答案

(I) 证明:(1)∵t2-2tan-1+an-1an=0,∴(t2-tan-1)-(tan-1-an-1an)=0,即 t(t-an-1)=an-1(t-an).

∵t-an-1≠0,∴=,即==+

-= (为常数),∴数列{}为等差数列.

(II)由上可得数列{}为等差数列.公差为,∴=+(n-1)=

∴an =+t.

(3)∵bn=n•2nan=(n+1)t2n

∴sn=t[2×21+3×22+…+(n+1)2n]①.

∴2sn=t[2×22+3×23+…+n 2n+(n+1)2n+1]②.

①-②可得-sn=t[[2×21+22+23+…+2n-(n+1)2n+1]=[2+( 2n+1-2)-(n+1)2n+1]=-n 2n+1

∴sn=n 2n+1

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题型:简答题
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简答题

设等比数列{an}的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;数列{an}满足2n2-(t+bn)n+bn=0(t∈R,n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)试确定实数t的值,使得数列{bn}为等差数列.

正确答案

(1)由题意,6a3=8a1+a5,则6q2=8+q4,解得q2=4或q2=2,

因为q为正整数,所以q=2,又a1=2,所以an=2n(2)当n=1时,2-(t+b1)+b1=0,得b1=2t-4,

同理可得:n=2时,b2=16-4t,n=3时,b3=12-2t,

则由b1+b3=2b2,得t=3,

并且,当t=3时,2n2-(3+bn)n+bn=0,

得bn=2n,由bn+1-bn=2,知此时数列{bn}为等差数列.

故答案为:t=3.

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题型:简答题
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简答题

已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+pn,数列{bn}的前n项和为Tn=3n2-2n.

(1)若a10=b10,求p的值.

(2)取数列{bn}的第1项,第3项,第5项,…,构成一个新数列{cn},求数列{cn}的通项公式.

正确答案

(1)由已知,an=Sn-Sn-1=(n2+pn)-[(n-1)2+p(n-1)]=2n-1+p(n≥2),

bn=Tn-Tn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5(n≥2).

∴a10=19+p,b10=55.

由a10=b10,得19+p=55,

∴p=36.

(2)b1=T1=1,满足bn=6n-5.

∴数列{bn}的通项公式为bn=6n-5.

取{bn}中的奇数项,所组成的数列的通项公式为b2k-1=6(2k-1)-5=12k-11.

∴cn=12n-11.

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题型:简答题
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简答题

设数列{an}是等差数列,a5=6,a3=2时,若自然数k1,k2,…,kn…(n∈N*)满足5<k1<k2<…<kn<…,使得a3,a5,ak1ak2,…akn,…成等比数列,

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{kn}的通项公式及其前n项的和.

正确答案

(1)∵等差数列{an}中,a5=6,a3=2

∴{an}的公差d===2,可得a1=a3-2d=-2

因此,{an}的通项公式为an=a1+(n-3)×2=2n-4

(2)∵2,6,ak1,ak2,…akn,…成等比数列,

∴该数列的公比q==3,可得akn=2•3n+1

又∵akn 是等差数列{an}中的第kn项,∴ak n=2kn-4,

因此,2•3n+1=2kn-4,解之得kn=3n+1+2,

∴k1+k2+…kn=(32+2)+(33+2)+(34+2)+…+(3n+1+2)

=(32+33+…3n+1)+2n=(3n-1)+2n.

即数列{kn}的通项公式为:kn=3n+1+2,其前n项的和为(3n-1)+2n.

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题型:简答题
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简答题

已知:函数f(x)=,数列{an}对n≥2,n∈N总有an=f(),a1=1;

(1)求{an}的通项公式.

(2)求和:Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1

(3)若数列{bn}满足:①{bn}为{}的子数列(即{bn}中的每一项都是{}的项,且按在{}中的顺序排列)②{bn}为无穷等比数列,它的各项和为.这样的数列是否存在?若存在,求出所有符合条件的数列{bn},写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)由f(x)=,又an=f()===an-1+(2分)

所以,{an}是以a1=1为首项,为公差的等差数列,即an=(n∈N*)(4分)

(2)当n为偶数,an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-an

所以 Sn=-(a2+a4+…an)=-=-n2-n(6分)

当n为奇数,则n-1为偶数,Sn=Sn-1+anan+1=-(n-1)2-(n-1)+=(8分)

综上:Sn=(10分)

(3)设b1=,公比q=>0,则b1qn==(k,p∈N*)对任意的n∈N*均成立,故m是正奇数,又S存在,所以m>1(12分)

当m=3时,S=,此时b1=,bn=,成立                 (13分)

当m=5时,S=,此时b1=∉{}故不成立                   (14分)

m=7时,S=,此时b1=,bn=,成立                    (15分)

当m≥9时,1-,由S=,得b1≥,设b1=,则k≤,又因为k∈N*,所以k=1,2,此时b1=1或b1=分别代入S==,得到q<0不合题意(18分)

由此,满足条件(3)的{bn}只有两个,即bn=或bn=(20分)

下一知识点 : 等差数列的前n项和
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