热门试卷

（1）∵4Sn=+2an+1，

∴当n≥2时，4Sn-1=+2an-1+1．

两式相减得4an=-+2an-2an-1，

∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0

∵an＞0，∴an-an-1=2，

又4S1=+2a1+1，∴a1=1

∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列． 

∴an=a1+（n-1）d=2n-1；

（2）由（1）知Sn==n2，

假设正整数k满足条件，

则（k2）2=[2（k+2048）-1]2

∴k2=2（k+2048）-1，

解得k=65；                         

（3）证明：由Sn=n2得：Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2

于是+-=+-=

∵m、k、p∈N*，m+p=2k，

∴

=≥=0．

∴+≥．

（1）设等比数列{an}的公比为q（q∈R），由a7=a1q6=1，得a1=q-6，

从而a4=a1q3=q-3，a5=a1q4=q-2，a6=a1q5=q-1．

因为a4，a5+1，a6成等差数列，

所以a4+a6=2（a5+1），即q-3+q-1=2（q-2+1），q-1（q-2+1）=2（q-2+1）．

所以q=．故an=a1qn-1=q-6qn-1=64（）n-1=27-n（2）又等比数列前n项和的公式可知：

Sn===128[1-（）n]＜128．

①由题意可设an=kn+b

∵a1=3，a10=21，

∴，解可得，k=2，b=1

∴an=2n+3，a2005=4011

②由题意可得，b1=a2=7，b2=a4=11，b3=a6=15，b4=a8=19

猜想bn=4n+3

（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22

又a2+a5=a3+a4=22

∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0

∴a3=9，a4=13

∴

∴d=4，a1=1

∴an=1+（n-1）×4=4n-3

（2）由（1）知，sn=n+=2n2-n

∵bn==

∴b1=，b2=，b3=，

∵bn是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，

∴c=-（c=0舍去），

（3）由（2）得bn==2n，Tn=2n+=n2+n=(n+1)n

2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4≥4，

但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4＞4，

∴===≤4，

n=3时取等号（15分）

（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以2Tn-3bn-1＞．

（1）由题知a3+a4=a2+a5=22，a3•a4=117，

所以，a3=9，a4=13或a3=13，a4=9，

所以公差d=±4，又因为d＞0，

所以d=4，因此an=4n-3（4分）

（2）∵Sn==n（2n-1），

所以bn==，

由{bn}是等差数列得，2b2=b1+b3，

∴=+，整理得：2c2+c=0，

∴c=-，（其中c=0舍去）（8分）

（3）由（2）知bn=2n，

∴f（n）===≤=．

当且仅当n=，即n=6时取得等号．即f（n）max=．

（1）∵等差数列an中，公差d＞0，

∴⇒⇒⇒d=4⇒an=4n-3（4分）

（2）Sn==n(2n-1)，bn==，（6分）

由2b2=b1+b3得=+，化简得2c2+c=0，c≠0，∴c=-（8分）

反之，令c=-，即得bn=2n，显然数列bn为等差数列，

∴当且仅当c=-时，数列bn为等差数列．（10分）

（3）∵cn===-

∴Tn=1-+-++-=f(n)=-Tn=-=1+-1+=+（12分）

∵f(1)=-，而n≥2时f(n+1)-f(n)=+--=-＜0

∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n）max=f（2）=2（14分）

∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N*都成立，Mmin=2（16分）

（1）∵a1=，∴b1=1-=，b2===，

a2=1-b2=1-=，b3===，a3=1-b3=1-=．

∴a2=，a3=；

（2）证明：由an+1+bn+1=1，bn+1=，

∴1-an+1=bn+1===，

∴1-an+1=，即an-an+1=anan+1，

∴-=1

∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．

∴=4+(n-1)=3+n，则an=，

∴bn=1-an=1-=；

（3）由an=，

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

=++…+

=-+-+…+-

=-=．

∴4λSn-bn=-=，

要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ-1）n2+（3λ-6）n-8＜0恒成立，

设f（n）=（λ-1）n2+3（λ-2）n-8

当λ=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，

当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，

当λ＜l时，对称轴n=-•=-(1-)＜0

f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．

只需f（1）=（λ-1）n2+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0

∴λ＜，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．

综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立．