热门试卷

（1）由已知，2Sn=an2+an-2（n∈N*）①

得：a1=2，a2=3，a3=4，…（2分）

又2Sn+1=an+12+an+1-2②

由②-①得； （an+1-an-1）（an+1+an）=0，（an＞0）

即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．

∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．

∴an=n+1． …（4分）

（2）由（Ⅰ）知bn=（n+1）•2n它的前n项和为Tn，

Tn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n ①

2Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1 ②

①-②：-Tn=2•21+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1

=4+  -(n+1)•2n+1

=-n•2n+1

∴Tn=n•2n+1…（8分）…（6分）

（3）∵an=n+1，∴cn=4n+（-1）n-1λ•2n+1，

要使cn+1＞cn恒成立，

∴cn+1-cn=4n+1-4n+（-1）nλ•2n+2-（-1）n-1λ•2n+1＞0恒成立

∴3•4n-3λ•（-1）n-12n+1＞0恒成立，

∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立．               …（9分）

（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立

当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，

∴λ＜1．…（11分）

（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立

当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，

∴λ＞-2．…（13分）

即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．

综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N*，

都有cn+1＞cn．…（14分）

由题意知

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

代入上述不等式组得：Sn=a1+d

代入上述不等式组得：

解得：或

故an=-n+或an=1

（1）设等比数列{an}的公比为q，

则，解得，

故数列{an}的通项公式为：an=（-2）n-1，

（2）由（1）可知an=（-2）n-1，

故Sk==，

所以Sk+1=，Sk+2=，

∴Sk+1+Sk+2=+=

==，

而2Sk=2===，

故Sk+1+Sk+2=2Sk，即Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列

（1）由已知，得求得a1=-2，a8=19

∴{an}的公差d=3 （2分）

∴an=a1+（n-1）d=-2+3（n-1）

=3n-5；（4分）

（2）由（1），得a3=a2+d=1+3=4，

∴a1=-2，a2=1，a3=4．

依题意可得：数列{bn}的前三项为

b1=1，b2=-2，b3=4或b1═4，b2=-2，b3=1．

（i）当数列{bn}的前三项为b1=1，b2=-2，b3=4时，则q=-2，（6分）

∴Sn===[1-(-2)n]（8分）

（ii）当数列{bn}的前三项为b1=4，b2=-2，b3=1时，则q=-．（10分）

∴Sn===[1-(-)n]．（12分）

法一：

（Ⅰ）∵Sn2=a13+a23+…+an3，

∴Sn-12=a13+a23+…+an-13，

两式相减，得an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1），

∵an＞0，∴an2=Sn+Sn-1（n≥2），

∴an-1 2=Sn-1+Sn-2(n≥2)，

两式相减，得an2-an-12 =Sn-Sn-2=an+an-1，

∴an-an-1=1（n＞3），

∵S12=a12=a13，且a1＞0，∴a1=1，

S22=(a1+a2)2=a13+a23，

∴（1+a2）2=1+a23，∴a23-a22-2a2=0，

由a2＞0，得a2=2，

∴an-an-1=1，n≥2，

故数列{an}为等差数列，通项公式为an=n．

（Ⅱ）bn=(1-)2-a(1-)=++1-a，

令t=，则bn=t2+(a-2)t+1-a，

设g（t）=t2+（a-2）t+1-a，

当＞时，即a＜时，g（t）在（0，]上为减函数，

且g() ＞g(1)，∴b1＜b2＜b3＜…

当≤时，即a≥时，g() ≤g(1)，从而b2≤b1不合题意，

∴实数a的取值范围a＜．

法二：

（Ⅰ）同法一．

（Ⅱ）bn+1-bn=(-)(++a-2)＞0，

∴++a-2＜0，

即a＜2--对任意n∈N*成立，

∴实数a的取值范围a＜．

（1）由已知a4+a5+a6=27，可得3a5=27，

解得a5=9．（1分）

设等差数列{an}的公差为d，则a5-a2=3d=6，解得d=2..（2分）

∴an=a2+（n-2）d=3+（n-2）×2=2n-1，（4分）

故sn===n2，

综上，an=2n-1，sn=n2（7分）

（2）把an=2n-1代入得bn===-，

所以Tn=b1+b2+…+bn=（1-）+（-）+…（-）=1-=．