热门试卷

（1）∵由 a1=2，a17=66，可得a17=a1+（17-1）d，

∴d===4，

∴an=a1 +（n-1）d=2+（n-1）•4=4n-2．  …（6分）

（2）令an=88，即4n-2=88得n=，由于 n∉N+．

∴88不是数列{an}中的项．…（12分）

（1）由 a2=2，a5=16，得q=2，解得 a1=1，从而an=2n-1．…（6分）

（2）由已知得等差数列{bn}，b1=a5 =16，b8=a2=2，设公差为d，则有b8-b1=7d，

即 2-16=7d，解得d=-2．

故数列{bn}前n项和Sn =n×16+(-2)=17n-n2．  …（10分）

由于二次函数Sn 的对称轴为n=，n∈z，且对应的图象开口向下，…（12分）

∴当n=8 或9时，Sn有最大值为 72． …（14分）

（1）∵数列{an}是等差数列，

∴an=a1+（n-1）d，Sn=na1+d．…（1分）

依题意，有即…（3分）

解得a1=6，d=4．…（5分）

∴数列{an}的通项公式为an=4n+2（n∈N*）．…（6分）

（2）证明：由（1）可得Sn=2n2+4n．…（7分）

∴===（-）．…（8分）

∴Tn=+++…++

=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]…（9分）

=（1+--）

=-（+）．…（10分）

∵Tn-=-（+）＜0，

∴Tn＜．…（11分）

∵Tn+1-Tn=（-）＞0，所以数列{Tn}是递增数列．…（12分）

∴Tn≥T1=．…（13分）

∴≤Tn＜．…（14分）

（1）由条件得=0+(n-1)，即Sn=(n-1)，

∴an=n-1(n∈N*)．

（2）由（1）可知bn=•(-2)n-1(n∈N*)

∴b2k-1=(-2)2k-2=•22k-2，b2k=(-2)2k-1=-•22k-1，b2k+1=(-2)2k=•22k，

由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，

所以dk=b2k+1-b2k-1=•22k-•22k-2=，

满足=4为常数，所以数列{dk}为等比数列．

（3）①当k为奇数时，

同样，可得dk+1===5k-5k-1+5k-2-…+50(-1)k+，

所以，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为(dk+1-)-(dk+)+1=dk+1-dk+=；

②当k为偶数时，同理可得集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为

（1）等比数列{bn}的公比为q，结合题意可得

，解之得，q=3或q=-4（负值舍去），a2=6

∴{an}的公差d=a2-a1=3，可得an=3+（n-1）×3=3n．

（2）由（1），得到{an}的前n项和为Sn=，

∴==(-)

由此可得：Tn=++…+=(1-+-+-+…+-)

=(1-)=．

∴Tn-=-=

令＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令=0，得n=5；令＞0，得n＞5

∴当n=1，2，3，4时，Tn＜；当n=5时，Tn=；当 n＞5（n∈N+）时，Tn＞．

（Ⅰ）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1

下用数学归纳法

①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；

②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1

由条件a1+2a2+3a3+…+nan=∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n≥2)

两式相减得：nan=-

则当n=k+1时，(k+1)ak+1=-⇒-2ak+1-k(k+2)=0∴ak+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立

故对一切的n∈N*，an=n+1成立

（Ⅱ）设f(x)=sinx-x(0＜x＜)

由f′(x)=cosx-=0⇒x=arccos

由y=cosx的单调性知f（x）在(0，]内有且只有一个极大值点，

且f(0)=f()=0∴在(0，)内f(x)＞0

即sinx＞x(0＜x＜)．

令x=，当n≥2时有∈(0，)，∴sin＞

又当n=1时，=，∴sin=∴sin≥(n∈N*)

（Ⅲ）∵anan+1≥6，∴∈(0，)

由（Ⅱ）可知sin＞∴Sn=sin+sin+…+sin＞2(-+-+…+-)=2(-)≥

即对一切n∈N*，Sn＞．

又∵在(0，)内sinx＜x∴Sn=sin+sin+…+sin＜π(-+-+…+-)=π(-)＜

即对一切n∈N*，Sn＜．∴＜Sn＜．

（1）当n=k时，Sn=-n2+kn取得最大值

即8=Sk=-k2+k2=

1

2

k2=8

∴k=4，Sn=-n2+4n

从而an=sn-sn-1=-n2+4n-[-（n-1）2+4（n-1）]=-n

又∵a1=S1=适合上式

∴an=-n

（2）∵bn==

∴Tn=1+++…++

Tn=+ +…++

两式向减可得，Tn=1+++…+-

=-=2--

∴Tn=4-

（1）∵Sn=n2+an．①

∴Sn+1=（n+1）2+an+1．②

∴②-①得：an+1+an=4n+2；

（2）∵an+1+an=4n+2；

∴an+1-2（n+1）=-（an-2n）=…=（-1）n（a1-2）；

又a1=2

∴an=2n

（3）∵f（n）=（1-）（1-）（1-）…（1-）

∴=  ＜1

∴f（n+1）＜f（n）对一切n∈N×都成立．

设这几台收割机的工作时间依次为a1，a2，a3，…an，

依题意知a1，a2，a3，…an组成一个等差数列，

又每台收割机每小时的工作效率为，则a1=5an…①

++…+=1…②

由②得  =1，a1+an=48解出a1=40h

答：这些收割机在这片麦地上工作了40h．