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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若bn=2kn•an,求数列{bn}的前n项和为Tn

(Ⅲ)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.

正确答案

(Ⅰ)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,

∴Sn=n2+2n.

当n=1时,a1=S1=3;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,

当n=1时,也满足.

故an=2n+1.

(Ⅱ)由f(x)=x2+2x求导可得,f′(x)=2x+2

∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,∴kn=2n+2.

又∵bn=2kn•an,

∴bn=22n+2•(2n+1)=4(2n+1)•4n

∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4(2n+1)•4n…①

由①×4可得:4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4(2n+1)•4n+1…②

①-②可得:-3Tn=4•[3×4+2•(42+43+…+4n)-(2n+1)•4n+1]

=4•[3×4+2•-(2n+1)•4n+1].

∴Tn=•4n+2-

(Ⅲ)∵Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*}

∴Q∩R=R,又∵cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,

∴c1=6,∴c10=4m+6,m∈N*,({cn}的公差是4 的倍数!)

又∵110<c10<115

解得m=27.

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题型:简答题
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简答题

设等差数列{an}的前n项和Sn=2n2,在数列{bn}中,b1=1,bn+1=3bn(n∈N*

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(Ⅱ)设cn=an•bn,求数列{cn}前n项和Tn

正确答案

(Ⅰ)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-2,

当n=1时,a1=S1=2,也符合上式,

∴an=4n-2,

∵b1=1,bn+1=3bn,∴bn=1•3n-1=3n-1

(Ⅱ)cn=anbn=2(2n-1)•3n-1

∴Tn=c1+c2+c3+…cn=2+6•31+10•32+…+(2n-1)•3n-1①,

3Tn=2•31+6•32+…+(2n-1)•3n②,

①-②整理可得,Tn=(2n-2)•3n+2.

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题型:填空题
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填空题

设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a5=9,则S6=______.

正确答案

∵Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a5=9,故公差d=2,

∴S6=6a1+d=36,

故答案为 36.

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题型:简答题
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简答题

在数列{an}中,其前n项和Sn与an满足关系式:(t-1)Sn+(2t+1)an=t(t>0,n=1,2,3,…).

(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;

(Ⅱ)设数列{an}的公比为f(t),已知数列{bn},b1=1,bn+1=3f()  (n=1,2,3,…),求b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1的值.

正确答案

证明:(Ⅰ) 当n=1时,(t-1)S1+(2t+1)a1=t,∴a1=

当n≥2时,(t-1)Sn+(2t+1)an=t,(t-1)Sn-1+(2t+1)an-1=t

∴(t-1)an+(2t+1)an-(2t+1)an-1=0

∴3tan=(2t+1)an-1,t>0

=,a1=

∴数列{an}是以为公比,为首项的等比数列;

(II)由(Ⅰ)可知,f(t)=(t>0),bn+1=3f(),则bn+1=bn+2

所以,数列{bn}是以2为公差,首项为1的等差数列

即bn=2n-1

①当n为奇数时,

b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1

=b1b2+b3(b4-b2)+b5(b6-b4)+…+bn(bn+1-bn-1

=3+4(b3+b5+…+bn

=2n2+2n-1

②当n为偶数时,

b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1

=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+bn(bn-1-bn+1

=-4(b2+b4+…+bn

=-(2n2+2n)

所以,原式=

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题型:填空题
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填空题

若等差数列{an}的公差d=2,a15=-10,则它首项a1=______.

正确答案

因为等差数列{an}的公差d=2,a15=-10,

所以a15=a1+(15-1)d,

所以-10=a1+28

解得a1=-38

故答案为-38.

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简答题

已知等差数列{an},Sn为其前n项的和,a2=0,a5=6,n∈N*

(I)求数列{an}的通项公式;

(II)若bn=3an,求数列{bn}的前n项的和.

正确答案

(Ⅰ)依题意…(2分)

解得

∴an=2n-4…(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=32n-4=9,

所以数列{bn}是首项为,公比为9的等比数列,…(7分)

=(9n-1).

所以数列{bn}的前n项的和(9n-1).…(10分)

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简答题

数列{an}是等差数列,a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d.

正确答案

∵an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,

又a1=1,an=-512,Sn=-1022,

把(n-1)d=-513代入②,得

n+n•(-513)=-1022,

解得n=4,∴d=-171.

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简答题

公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,又a2,a4,a9成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn

正确答案

(1)设数列的公差为d,则

∵a3=7,又a2,a4,a9成等比数列.

∴(7+d)2=(7-d)(7+6d)

∴d2=3d

∵d≠0

∴d=3

∴an=7+(n-3)×3=3n-2

即an=3n-2;

(2)∵bn=2an,∴bn=23n-2

==8

∴数列{bn}是等比数列,

∵b1=2a1=2

∴数列{bn}的前n项和Sn=

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简答题

已知数列{an}前 n项和为Sn,且Sn=n2

(1)求{an}的通项公式    

(2)设 bn=,求数列{bn}的前 n项 和Tn

正确答案

(1)∵Sn=n2

∴Sn-1=(n-1)2

两个式子相减得

an=2n-1;                             

(2)bk===(-)(

故Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=(1-)=

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简答题

已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn(n∈N*).

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;

(Ⅱ)记cn=anbn,求数列{cn}中的最大项.

正确答案

(Ⅰ)设an的首项为a1,∵a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,

∴an=2n-1

n=1时,b1=T1=1-b1

∴b1=

n≥2时,Tn=1-bn,Tn-1=1-bn-1,

两式相减得bn=bn-1数列是等比数列,

∴bn=•()n-1

(Ⅱ)cn=(2n-1)••()n-1cn+1-cn=•()n(1-n)

∴当n=1时,c2=c1

当n≥2时,cn+1<cn,∴cn单调递减,

∴数列{cn}中的最大项为c1=c2=

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