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题型:简答题
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简答题

已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ,B两点.

(1)如图所示,若,求直线l的方程;

(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.

正确答案

(1);(2)长轴长的最小值为.

试题分析:(1)首先求得抛物线方程为 .

设直线方程为,并设

利用,得到 ;

联立,可得,应用韦达定理得到 ,

从而得到,求得直线方程.

(2)可求得对称点

代入抛物线中可得:,直线方程为,考虑到对称性不妨取,

椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得

,可得 ,即得解.

(1)由题知抛物线方程为 。                 2分

设直线方程为,并设

因为,所以.

联立,可得,有            4分

解得:,所以直线方程为:  6分 

(2)可求得对称点,            8分

代入抛物线中可得:,直线方程为,考虑到对称性不妨取,

设椭圆方程为,联立直线方程和椭圆方程并消元整理得,       10分

因为椭圆与直线有交点,所以

即:,解得        12分

∴长轴长的最小值为..                        13分

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题型:填空题
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填空题

已知直线:与抛物线:交于两点,与轴交于,若,则_______.[

正确答案

试题分析:解方程组,由得:.

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题型:简答题
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简答题

已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.

(1)求曲线C的方程;

(2)过点P(2,2)的直线与曲线C交于A、B两点,设.当△AOB的面积为4时(O为坐标原点),求λ的值.

正确答案

(1)∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小于1,

∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等,

∴点M的轨迹C是以F为焦点,l′为准线的抛物线,

所以曲线C的方程为x2=4y.

(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,

设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k),

代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,(*)

△=16(k2-2k+2)>0对k∈R恒成立,

所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点,

设交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=4k,x1x2=8(k-1),

∵|AB|=

=

=4

点O到直线m的距离d=

∴S△ABO=|AB|•d

=4|k-1|•

=4

∵S△ABO=4,∴4=4

∴(k-1)4+(k-1)2-2=0,

∴(k-1)2=1,或(k-1)2=-2(舍去),∴k=0,或k=2.

当k=0时,方程(*)的解为±2

若x1=2,x2=-2,则λ==3-2

若x1=-2,x2=2,则λ==3+2

当k=2时,方程(*)的解为4±2

若x1=4+2,x2=4-2,则λ==3+2

若x1=4-2,x2=4+2,则λ==3-2

所以,λ=3+2,或λ=3-2

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题型:简答题
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简答题

已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程.

(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.

(3)在(2)的条件下,试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1) y=-1  (2) x2=4y   (3) 存在 点B的坐标为(2,1)或(-2,1),理由见解析

(1)两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),

由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.

(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,以点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.

(3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x2,y'=x,所以过点B的切线的斜率为k=x1,

切线方程为y-y1=x1(x-x1).

令x=0得y=-+y1,

令y=0得x=-+x1.

因为点B在x2=4y上,所以y1=,

故y=-,x=x1,

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S=|x||y|=|x1||-|=||,

所以||=,解得|x1|=2,

所以x1=±2.

当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).

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题型:简答题
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简答题

已知A、B为抛物线C:y2 = 4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.

(1)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:动点P在一条定直线上,并求此直线方程;

(2)设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点,求面积的最小值.

正确答案

(1);(2)

试题分析:(1)设),方程为,与抛物线方程联立,利用直线与抛物线y2 = 4x相切,故,求,故切线的方程。同理可求得切线方程为,联立得交点,再注意到已知条件直线AB过抛物线C的焦点F,故表示直线AB的方程为,将抛物线焦点代入,得,从而发现点P横坐标为,故点P在定直线上;(2)列面积关于某个变量的函数关系式,再求函数最小值即可,由已知得,,故,又高为,故三角形的面积为,再求最小值即可.

(1)设).

易知斜率存在,设为,则方程为.

得,        ①

由直线与抛物线相切,知.

于是,方程为.

同理,方程为.

联立方程可得点坐标为 ,

∵ 方程为

过抛物线的焦点.

,∴,点P在定直线上.

(2)由(1)知,的坐标分别为

.

∴ .   

),

知,,当且仅当时等号成立.

∴ .

,则.

∴ 时,时,.在区间上为减函数;

在区间上为增函数.∴ 时,取最小值.

∴ 当

时,面积取最小值.         13分

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