- 抛物线的定义
- 共1334题
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ,B两点.
(1)如图所示,若,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.
正确答案
(1);(2)长轴长的最小值为
.
试题分析:(1)首先求得抛物线方程为 .
设直线方程为,并设
利用,得到
;
联立,可得
,应用韦达定理得到
,
从而得到,求得直线方程.
(2)可求得对称点,
代入抛物线中可得:,直线
方程为
,考虑到对称性不妨取
,
椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得
,
由,可得
,即得解.
(1)由题知抛物线方程为 。 2分
设直线方程为,并设
因为,所以
.
联立,可得
,有
4分
解得:,所以直线方程为:
6分
(2)可求得对称点, 8分
代入抛物线中可得:,直线
方程为
,考虑到对称性不妨取
,
设椭圆方程为,联立直线方程和椭圆方程并消元整理得
, 10分
因为椭圆与直线有交点,所以,
即:,解得
12分
即
∴长轴长的最小值为.. 13分
已知直线:
与抛物线
:
交于
两点,与
轴交于
,若
,则
_______.[
正确答案
试题分析:解方程组得
或
,由
得:
.
已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线与曲线C交于A、B两点,设=λ
.当△AOB的面积为4
时(O为坐标原点),求λ的值.
正确答案
(1)∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F为焦点,l′为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为x2=4y.
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k),
代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,(*)
△=16(k2-2k+2)>0对k∈R恒成立,
所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点,
设交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=8(k-1),
∵|AB|=
=
=4,
点O到直线m的距离d=,
∴S△ABO=|AB|•d
=4|k-1|•
=4,
∵S△ABO=4,∴4
=4
,
∴(k-1)4+(k-1)2-2=0,
∴(k-1)2=1,或(k-1)2=-2(舍去),∴k=0,或k=2.
当k=0时,方程(*)的解为±2,
若x1=2,x2=-2
,则λ=
=3-2
,
若x1=-2,x2=2
,则λ=
=3+2
,
当k=2时,方程(*)的解为4±2,
若x1=4+2,x2=4-2
,则λ=
=3+2
,
若x1=4-2,x2=4+2
,则λ=
=3-2
,
所以,λ=3+2,或λ=3-2
.
已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程.
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
(3)在(2)的条件下,试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1) y=-1 (2) x2=4y (3) 存在 点B的坐标为(2,1)或(-2,1),理由见解析
(1)两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),
由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,以点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.
(3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x2,y'=
x,所以过点B的切线的斜率为k=
x1,
切线方程为y-y1=x1(x-x1).
令x=0得y=-+y1,
令y=0得x=-+x1.
因为点B在x2=4y上,所以y1=,
故y=-,x=
x1,
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=|x||y|=
|
x1||-
|=
|
|,
所以|
|=
,解得|x1|=2,
所以x1=±2.
当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).
已知A、B为抛物线C:y2 = 4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.
(1)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:动点P在一条定直线上,并求此直线方程;
(2)设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点,求面积的最小值.
正确答案
(1);(2)
试题分析:(1)设,
(
),
方程为
,与抛物线方程联立,利用直线
与抛物线y2 = 4x相切,故
,求
,故切线
的方程
。同理可求得切线
方程为
,联立得交点
,再注意到已知条件直线AB过抛物线C的焦点F,故表示直线AB的方程为
,将抛物线焦点
代入,得
,从而发现点P横坐标为
,故点P在定直线
上;(2)列
面积关于某个变量的函数关系式,再求函数最小值即可,由已知得,
,
,故
,又高为
,故三角形
的面积为
,再求最小值即可.
(1)设,
(
).
易知斜率存在,设为
,则
方程为
.
由得,
①
由直线与抛物线
相切,知
.
于是,,
方程为
.
同理,方程为
.
联立、
方程可得点
坐标为
,
∵ ,
方程为
,
过抛物线
的焦点
.
∴,∴
,点P在定直线
上.
(2)由(1)知,的坐标分别为
,
∴.
∴ .
设(
),
,
由知,
,当且仅当
时等号成立.
∴ .
设,则
.
∴ 时,
;
时,
.
在区间
上为减函数;
在区间上为增函数.∴
时,
取最小值
.
∴ 当,
,
即,
时,
面积取最小值
. 13分
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