热门试卷

（1）.（2）以线段为直径的圆恒过两个定点.

试题分析：（1）根据抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.        

可得曲线的方程为.

（2）设点的坐标分别为，依题意得，.

由消去得，

应用韦达定理.

直线的斜率，

故直线的方程为.                  

令，得，

得到点的坐标为.点的坐标为.               

得到.

设线段的中点坐标为，

而

.     

故以线段为直径的圆的方程为.

令，得，解得或.           

确定得到以线段为直径的圆恒过两个定点.

（1）由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,

故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.        

∴曲线的方程为.                                  4分

（2）设点的坐标分别为，依题意得，.

由消去得，

∴.                                    6分 

直线的斜率，

故直线的方程为.                  

令，得，

∴点的坐标为.                   

同理可得点的坐标为.               

∴

.  

∴.            8分

设线段的中点坐标为，

则

.     

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得.                 11分        

令，得，解得或.           

∴以线段为直径的圆恒过两个定点.            13分

假设存在这样的抛物线，顶点为（a，0），则方程为y2=4a（x-a）（a≠0），

设P（x0，y0），则y02=4a（x0-a），

|AP|2=（x0-3）2+y02=[x0-（3-2a）]2+12a-8a2，

令f（a）=|AP|2，

①a＞0时，有x0≥a，

当3-2a≥a即a∈（0，1]时，

|AP|2=f（3-2a），∴a=1或a=；

抛物线方程为y2=4（x-1）或y2=2（x-）．

当3-2a＜a即a＞1时，|AP|2=f（a）．

∴a=5或a=1（舍），

抛物线方程为y2=20（x-5）．

②当a＜0时，显然与已知矛盾，

∴所求抛物线方程为y2=4（x-1）或y2=2（x-）或y2=20（x-5）．

（1）x2－x＋y2＝4

（2）存在，(1，－2)和(1,2)

(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．

由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，

即|OP|2＋|CP|2＝9．

设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，

化简，得到x2－x＋y2＝4．

(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，

∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．

由方程组，得x2＋3x－4＝0，

解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，

故取x＝1，此时y＝±2．

故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．

(1)｜MN｜=2p不变化  

（2）2 ， θ=45°圆的方程为(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2

(1)设圆心C(x0,y0),则x20=2py0，圆C的半径｜CA｜=，其方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令y=0，并将x20=2py0，代入，得x2-2x0x+x20-p2=0，解得xm=x0-p,xN=x0+p,∴｜MN｜=｜xN-xM｜=2p(定值)

(2)∵m=｜AM｜=,n=｜AN｜=,∴m2+n2=4p2+2x20,m·n=，∴+====

=2≤2，当且仅当y0=p时等号成立，x0=±p，此时△MCN为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2