- 抛物线的定义
- 共1334题
设直线l：x－y＋m＝0与抛物线C：y2＝4x交于不同两点A，B，F为抛物线的焦点．
(1)求△ABF的重心G的轨迹方程；
(2)如果m＝－2，求△ABF的外接圆的方程．
正确答案
(1)y＝
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，
∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，
故
∴重心G的轨迹方程为y＝
(2)若m＝－2，则y2－4y－8＝0，设AB中点为(x0，y0，)
∴y0＝
那么AB的中垂线方程为x＋y－6＝0，
令△ABF的外接圆圆心为C(a,6－a)，
又|AB|＝
∴C点的坐标为
∴所求的圆的方程为
正方形
正确答案
设
一方面，
∴
将①代入②，得
从抛物线
正确答案
10
略
如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
正确答案
(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4
(1)由
因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.
解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
：如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当t∈（0，
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．
正确答案
：略
：（1）在y＝
解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)．····················································· 1分
在y＝
∴B(0，－10)．································· 2分
∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为－10．
由－10＝
∴C(8，－10)．·································· 3分
∵y＝
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．
∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．
解得t＝
（3）设点P运动了t秒，则OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．
∵QC∥OP， ∴
同理QC∥AF，∴
∴AF＝4t＝OP．
∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．································································· 8分
∴S△PQF＝
∴△PQF的面积总为定值90．································································· 9分
（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10) t∈（0，4.5）．
∴PQ2＝(4t－8＋t)2＋102＝(5t－8)2＋100
FQ2＝(18＋4t－8＋t)2＋102＝(5t＋10)2＋100．
①若FP＝FQ，则182＝(5t＋10)2＋100．
即25(t＋2)2＝224，(t＋2)2＝
∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝
∴t＝
②若QP＝QF，则(5t－8)2＋100＝(5t＋10)2＋100．
即(5t－8)2＝(5t＋10)2，无0≤t≤4.5的t满足．·································· 12分
③若PQ＝PF，则(5t－8)2＋100＝182．
即(5t－8)2＝224，由于
∴－8≤5t－8≤14.5，而14.52＝(
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．·························································· 13分
注：也可解出t＝
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t＝
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