抛物线的定义
共1334题

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抛物线的定义
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题型：填空题

填空题

已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2=1相外切，又与直线x=1相切，那么动圆圆心P 的轨迹方程是______．

正确答案

设圆心P到直线x=1的距离等于r，P（x，y ），则由题意有可得 PC=1+r，即 =1+1-x，化简可得 y2=-8x，故答案为：y2=-8x．

题型：填空题

填空题

已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则的面积为 .

正确答案

试题分析：设，根据焦半径公式得：,,代入抛物线方程，得：,.

题型：简答题

简答题

给定直线动圆M与定圆外切且与直线相切．

（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（2）设A、B是曲线C上两动点（异于坐标原点O），若求证直线AB过一定点，并求出定点的坐标.

正确答案

（1）（2）

试题分析：解：（1）由已知可得：定圆的圆心为（－3，0），且M到（－3，0）的距离比它到直线的距离大1，∴M到（－3，0）的距离等于它到直线的距离，

∴动圆圆心M的轨迹为以F（－3，0）为焦点，直线为准线的抛物线，开口向左，

， ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为：

（也可以用直接法：，然后化简即得：）；

（2）方法一：经分析：OA,OB的斜率都存在，都不为0，设OA：，则OB：，

联立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,

∴, 即: ,

令,则,∴,∴直线AB与x轴交点为定点，

其坐标为。方法二：当AB垂直x轴时，设A，则B，

∵∴，∴

此时AB与x轴的交点为；

当AB不垂直x轴时，设AB：，联立和有：

，∴，

∵∴，即：，

∴AB：，此时直线AB与x轴交点为定点，其坐标为,

综上：直线AB与x轴交点为定点，其坐标为。

点评：对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时，一般都可以用到跟与系数的关系式：在一元二次方程中，。

题型：简答题

简答题

如图，设抛物线：的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．

（1）求抛物线的方程及的取值范围；

（2）是否存在值，使点是线段的中点？若存在，求出值，若不存在，请说明理由．

正确答案

（1），；（2）不存在.参考解析

试题分析：（1）由准线上一点，所以可以求得的值，即可取得抛物线的方程.由于直线与抛物线有两个交点，所以联立方程消去y，需要判别式大于零即可得到k的取值范围，又由于k等于零时没有两个交点，所以应排除，即可得到结论.

（2）是否存在值，使点是线段的中点.由直线AB的方程联立抛物线的方程，即可求得AB中点P的坐标.从而写出PF的方程再联立抛物线的方程，对比DE的中点是否与AB的中点相同.即可得到答案.

（1）由已知得，∴．∴抛物线方程为． 2分

设的方程为，，，，，

由得． 4分

，解得，注意到不符合题意，

所以． 5分

（2）不存在值，使点是线段的中点．理由如下： 6分

有（1）得，所以，所以，，直线的方程为． 8分

由得，． 10分

当点为线段的中点时，有，即，因为，所以此方程无实数根．因此不存在值，使点是线段的中点． 12分

题型：简答题

简答题

已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.

⑴求曲线的方程；

⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，

当变化且为定值时，证明直线恒过定点，

并求出该定点的坐标.

正确答案

⑴

⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

试题分析：⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;

⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标.

试题解析：⑴设，则，由得，;

即;所以轨迹方程为;

⑵设，由题意得（否则）且,

所以直线的斜率存在，设其方程为，

因为在抛物线上,所以，

将与联立消去，得;

由韦达定理知①;

(1)当时，即时，,所以，

,所以.由①知：,所以

因此直线的方程可表示为，即.

所以直线恒过定点

(2)当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为,

即,所以直线恒过定点;

所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，

当时直线恒过定点. 12分

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