- 万有引力与航天
- 共16469题
已知一颗沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为5 100s，今要发射一颗地球同步卫星，它的离地高度为地球半径的多少倍？
正确答案
解：对于已知的近地卫星，依据万有引力提供向心力，有
而对于地球的同步卫星，由于其周期等于地球自转周期，有
两式相除有：
代入数据，解得
答：地球同步卫星距离地面高度是地球半径的5.6倍．
解析
解：对于已知的近地卫星，依据万有引力提供向心力，有
而对于地球的同步卫星，由于其周期等于地球自转周期，有
两式相除有：
代入数据，解得
答：地球同步卫星距离地面高度是地球半径的5.6倍．
（1）、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e．
（2）、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变．设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？
（3）、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期．
（4）、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值．
正确答案
解：（1）椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）rn与rf的算术平均值，即有半长轴
代入数据得
a=3.1946×104km
由几何关系知，椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有
代入数据得b=1.942×104km
椭圆的偏心率
（2）当卫星在16小时轨道上运行时，以vn和vf分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有：
因为卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒有
mvnrn=mvfrf ②
又在地球表面有：
由①②③式可得：
当卫星沿16小时轨道运行时，根据题意给出的数据有：
rn=R+Hn，rf=R+Hf
代入式⑤得vf=1.198km/s ⑥
在远地点星载发动机点对，对卫星作短时间加速，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点．所以新轨道远地点高度
vf′=1.230km/s ⑦
卫星动量的增量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为△t有
m（vf′-vf）=F△t
代入数据可解得△t=1.5×102s；
（3）当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度大小，θ表示矢径与速度的夹角，则卫星角动量的大小
L=rmvsinθ=2mσ
其中σ=
σ=
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积
S=πab
所以卫星沿轨道运动的周期
由以上分析得，卫星在16小时轨道上实际运行周期
T=
代入数据可得T=5.67×104s；
（4）在绕月球圆形轨道上根据万有引力提供圆周运动向心力有：
可得月球质量
对于地球有
结合题中给出的数据可以解得：
答：（1）16小时轨道的半长轴a=3.1946×104km和半短轴b=1.942×104km的长度，以及椭圆偏心率e=0.7941；
（2）在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变．设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续△t=1.5×102s；
（3）卫星在16小时轨道的实际运行周期T=5.67×104s．
（4）、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，月球质量与地球质量之比值为
解析
解：（1）椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）rn与rf的算术平均值，即有半长轴
代入数据得
a=3.1946×104km
由几何关系知，椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有
代入数据得b=1.942×104km
椭圆的偏心率
（2）当卫星在16小时轨道上运行时，以vn和vf分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有：
因为卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒有
mvnrn=mvfrf ②
又在地球表面有：
由①②③式可得：
当卫星沿16小时轨道运行时，根据题意给出的数据有：
rn=R+Hn，rf=R+Hf
代入式⑤得vf=1.198km/s ⑥
在远地点星载发动机点对，对卫星作短时间加速，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点．所以新轨道远地点高度
vf′=1.230km/s ⑦
卫星动量的增量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为△t有
m（vf′-vf）=F△t
代入数据可解得△t=1.5×102s；
（3）当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度大小，θ表示矢径与速度的夹角，则卫星角动量的大小
L=rmvsinθ=2mσ
其中σ=
σ=
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积
S=πab
所以卫星沿轨道运动的周期
由以上分析得，卫星在16小时轨道上实际运行周期
T=
代入数据可得T=5.67×104s；
（4）在绕月球圆形轨道上根据万有引力提供圆周运动向心力有：
可得月球质量
对于地球有
结合题中给出的数据可以解得：
答：（1）16小时轨道的半长轴a=3.1946×104km和半短轴b=1.942×104km的长度，以及椭圆偏心率e=0.7941；
（2）在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变．设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续△t=1.5×102s；
（3）卫星在16小时轨道的实际运行周期T=5.67×104s．
（4）、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，月球质量与地球质量之比值为
地球周围物体的重力势能的表达式为：
（1）质量为1t的卫星绕地表飞行，其总机械能为多大？
（2）再补充多少能量可使它脱离地球的引力？（R地=6400km，g=10m/s2）
正确答案
解：卫星做匀速圆周运动，由万有引力公式和牛顿定律得：
其动能为
其机械能为
卫星绕地表运行时，r=R，且
所以
要使绕地球运动的卫星挣脱地球的引力，需添加的能量是：△E=0-E=3.2×1010J
答：（1）质量为1t的卫星绕地表飞行，其总机械能为-3.2×1010J．
（2）再补充3.2×1010J能量可使它脱离地球的引力．
解析
解：卫星做匀速圆周运动，由万有引力公式和牛顿定律得：
其动能为
其机械能为
卫星绕地表运行时，r=R，且
所以
要使绕地球运动的卫星挣脱地球的引力，需添加的能量是：△E=0-E=3.2×1010J
答：（1）质量为1t的卫星绕地表飞行，其总机械能为-3.2×1010J．
（2）再补充3.2×1010J能量可使它脱离地球的引力．
土卫六是荷兰物理学家、天文学家和数学家克里斯蒂安•惠更斯于1655年3月25日发现的，它是环绕土星运行的一颗最大卫星，也是太阳系第二大的卫星．它绕土星做匀速圆周运动轨道半径约为2600千米，周期约为16天，现发射一颗人造土星卫星，绕土星运行的轨道半径约为1300千米，则该人造卫星绕土星运行的周期约为（ ）
正确答案
解析
解：由题意知，r1=2600km，T1=6day，r2=1300km求T2
根据开普勒行星运动定律有：
可得
故B正确，ACD错误．
故选：B．
正确答案
解析
解：根据万有引力提供向心力得
G
v=
由这些关系可以看出，r越大，a、v、ω越小，而T越大，飞船从轨道1变轨至轨道2，轨道半径变大，故线速度变小，故动能变小，加速度、角速度变小，周期变大，故ABD错误，C正确．
故选：C．
我国自行建立的“北斗一号”卫星定位系统由三颗卫星组成，三颗卫星都定位在距地面约36000km的地球同步轨道上，北斗系统主要有三大功能：快速定位、短报文通信、精密授时．美国的全球卫星定位系统（简称CPS）由24颗卫星组成，这些卫星距地面的高度均约为20000km．比较这些卫星，下列说洼中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、“北斗一号”系统中的三颗卫星绕地球做圆周运动，与环绕天体的质量无关，三颗卫星的质量不一定相同．故A错误．
B、根据
故选C．
已知地球的同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，根据你知道的常识，可以估计出地球到月球的距离．这个距离最接近以下哪个答案（ ）
正确答案
解析
解：根据卫星的向心力由万有引力提供
对同步卫星有：
对月球有：
而
由①②③得：n≈60
所以选项ACD错误，B正确．
故选B
近地卫星线速度大小为v1，某地球同步卫星线速度大小为v2，距地面高度约为地球半径的6倍．若近地卫星距地面高度不计，则v1：v2=______，该近地卫星的周期是地球自转周期的______倍．
正确答案
解析
解：近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
近地卫星线速度大小为v1，某地球同步卫星线速度大小为v2，距地面高度约为地球半径的6倍．
近地卫星与同步卫星的轨道半径比为1：7，
线速度v=
周期T=2π
故答案为：
“东方一号”人造地球卫星A和“华卫二号”人造卫星B的质量之比为mA：mB=1：2，轨道半径之比为2：1，则下面的结论中正确的是（ ）
A它们受到地球的引力之比为FA：FB=1：1
B它们的运行速度大小之比为vA：vB=1：
C它们的运行周期之比为TA：TB=
D它们的运行角速度之比为ωA：ωB=
正确答案
解析
解：人造地球卫星的万有引力充当向心力，即
解得：
A、根据F=
B、由
C、由
D、由
故选：BC．
“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，已知运行周期为T，月球的半径为R，月球质量为M，引力常量为G，则（ ）
A卫星以恒定的向心加速度运行
B卫星运行周期T与卫星质量有关
C月球对卫星的万有引力为
D月球表面的重力加速度为
正确答案
解析
解：A、万有引力提供向心力，向心加速度方向始终指向圆心，向心加速度方向时刻改变，向心加速度是变加速度，故A错误；
B、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G
C、月球对卫星的万有引力：F=G
D、月球表面的物体所受重力：m′g=G
故选：D．
利用匀速圆周运动中的物理规律和万有引力定律证明：
（1）绕地球正常运行的卫星，其离地面越高，则运行速度越小；
（2）世界各国发射的各种同步卫星，距地面的高度均相同．
正确答案
解：（1）令地球半径为R，质量为M，卫星质量为m，距地面高度为h，则卫星轨道半径为R+h，则卫星运行时万有引力提供圆周运动向心力有：
可得卫星运行线速度
根据数学关系可知，卫星距地面高度h越大，则线速度v越小．
（2）令地球半径为R，同步卫星距地面高度为H，地球质量为M，同步卫星质量为m，同步卫星周期为T
则同步卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故有：
可得H=
同各国发射的同步卫星中G、M、T和R均为常量，故H相同．
答：证明过程详见解题．
解析
解：（1）令地球半径为R，质量为M，卫星质量为m，距地面高度为h，则卫星轨道半径为R+h，则卫星运行时万有引力提供圆周运动向心力有：
可得卫星运行线速度
根据数学关系可知，卫星距地面高度h越大，则线速度v越小．
（2）令地球半径为R，同步卫星距地面高度为H，地球质量为M，同步卫星质量为m，同步卫星周期为T
则同步卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故有：
可得H=
同各国发射的同步卫星中G、M、T和R均为常量，故H相同．
答：证明过程详见解题．
正确答案
解析
解：根据万有引力提供向心力，即G
当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340km的圆形轨道，所以v3＞v2，
根据G
得；v=
又因为r1＜r3，所以v1＞v3故v1＞v3＞v2．
故选：C．
一地球人造卫星的高度等于地球的半径，用弹簧秤将质量为10㎏的物体挂在卫星内，则弹簧秤的示数为______N，物体受到地球的引力为______N（取地球表面的重力加速度为g=10m/s2）
正确答案
0
25
解析
解：（1）卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星内，物体受到万有引力全部用来充当向心力，
故物体对弹簧秤没有拉力，故弹簧秤读数为0．
（2）对卫星内物体，万有引力充当向心力，
r=2R
根据地球表面物体的万有引力等于重力得：
根据以上等式解得：
a=
所以物体受到地球的引力为F=ma=25N
故答案为：0，25．
牛顿曾设想，从高山上水平抛出的物体，速度一次比一次大，落地点就一次比一次远．如果抛出速度足够大，物体就将绕地球运动，成为人造地球卫星．设地球的质量为M，物体到地心的距离为r，万有引力常量为G，则当抛出物体的速度增大到______时，物体将绕地球运动．如果这个物体成为了人造地球卫星，则它运动的周期为______．
正确答案
2πr
解析
解：当物体所受的万有引力等于向心力时，物体就将绕地球运动，则有
G
得v=
卫星的周期T=
故答案为：
两颗卫星A、B均在地球赤道平面绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB，已知TA＜TB，则两颗卫星（ ）
A相邻两次相距最近所用的时间t=
B运行线速度之比为vA：vB=T
C半径之比rA：rB=T
D向心加速度之比aA：aB=T
正确答案
解析
解：A、从相距最近到第一次相距最远，所用时间为：t=
解得：t=
B、由公式v=
C、由公式
故选：A．
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