- 万有引力与航天
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(2016•江西二模)2014年3月8日,马来西亚航空公司从吉隆坡飞往北京的航班MH370失联,MH370失联后多个国家积极投入搜救行动,在搜救过程中卫星发挥了巨大的作用.其中我国的北斗导航系统和美国的GPS导航系统均参与搜救工作.北斗导航系统包含5颗地球同步卫星,而GPS导航系统由运行周期为12小时的圆轨道卫星群组成,则下列说法正确的是( )
正确答案
解析
解:A、7.9km/s是发射卫星的最小速度,发射人造地球卫星时,发射速度大于7.9km/s,小于第二宇宙速度,故A错误;
B、GPS由运行周期为12小时的卫星群组成,同步卫星的周期是24小时,
所以北斗导航系统中的同步卫星和GPS导航卫星的周期之比,T1:T2=2:l.
根据万有引力提供向心力得r=
,
所以北斗同步卫星的轨道半径与GPS卫星的轨道半径之比是:1,
根据得:v=
得北斗同步卫星的线速度与GPS卫星的线速度之比为
,故B正确;
C、由于卫星的质量关系不清楚,所以无法比较机械能的大小关系,故C错误;
D、北斗导航系统包含5颗地球同步卫星,而GPS导航系统由运行周期为12小时的圆轨道卫星群组成,所以卫星向地面上同一物体拍照时GPS卫星拍摄视角大于北斗同步卫星拍摄视角,故D错误;
故选:B
“嫦娥三号”探月工程将在今年下半年完成.假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0.飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动,到达轨道的A点,点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动.下列判断正确的是( )
正确答案
解析
解:A、根据万有引力提供向心力G=m
r,r=4R,GM=g0R2,解得:T=2π
,故A错误,
B、设月球的质量为M,飞船的质量为m,飞船绕月运动速度为v,由万有引力提供向心力:G=m
,r=4R,GM=g0R2,解得:v=
,故B错误.
C、飞船在A点处点火时,是通过向行进方向喷火,做减速运动,向心进入椭圆轨道,所以点火瞬间是动能减小的,故C错误.
D、飞船在Ⅱ轨道上由A点运动到B点的过程中,万有引力做正功,动能增大,故D正确.
故选:D.
2012年初,我国宣布北斗导航系统正式商业运行.北斗导航系统又被称为“双星定位系统”,具有导航、定位等功能.“北斗”系统中有两颗工作卫星均绕地心O做匀速圆周运动,轨道半径为r,某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置(如图所示).若卫星均顺时针运行,地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R,不计卫星间的相互作用力,则以下判断中正确的是( )
正确答案
解析
解:A、在地球表面万有引力等于重力有:①,卫星运动时万有引力提供圆周运动向心力有
②,由①和②这两颗卫星的加速度
,故A正确;
B、万有引力提供圆周运动向心力得卫星运动行的周期T=
=
=
,从A到B转过的圆心角为60°,所用时间t=
=
,故B错误;
C、卫星1在轨道让运动满足,当卫星1向后喷气加速,卫星所需向心力增加,而万有引力没有变化,故卫星将做离心运动,高度将抬高,故不能追上卫星2,故C错误;
D、从A至B的过程中万有引力的方向指向地心,而位移方向由A指向B,故D错误;
故选:A
2012年10月25日,我国第16颗北斗导航卫星发射成功.我国“北斗”卫星导航技术堪比美国GPS.已知GPS导航系统中某卫星的运行周期约为12小时,则此卫星与北斗导航系统中的地球同步卫星相比较( )
正确答案
解析
解:根据=mrω2,由题意有:T同>TG据
有r同>rG
A、据v= 得v同<vG所以A正确;
B、据ω= 得ω同<ωG,所以B正确;
C、轨道半径有有r同>rG故C错误;
D、a=,得a同<aG,故D正确.
故选ABD.
已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,地球同步卫星质量为m,引力常量为G.有关同步卫星,下列表述正确的是( )
正确答案
解析
解:A、第一宇宙速度是卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度,第二宇宙速度是脱离地球束缚的速度,所以卫星的发射速度处于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间,故A错误;
B、第一宇宙速度是最大的环绕速度,贴近地面的卫星速度近似等于第一宇宙速度,同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度,故B正确;
C、卫星运行时受到的向心力大小为F=,r>R,故C错误;
D、根据万有引力提供向心力,列出等式:
G=ma,在地球表面
,r>R,所以a<g,故D正确;
故选:BD
如图,卫星在A轨道绕地球做匀速圆周运动,运行速度为vA;要使卫星到B轨道运动,则此时应______(填“加速”或“减速”).若卫星在B轨道做匀速圆周运动时的速度为vB,则vA______vB(填“>”,“<”或“=”)
正确答案
加速
>
解析
解:要使卫星到B轨道运动,轨道半径增大,做离心运动,必须使卫星加速.
人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动,万有引力等于向心力,则得
G=m
可得 v=
则知卫星的轨道半径越小,其绕行速度越大.故vA>vB.
故答案为:加速,>.
我国在近两年将发射10颗左右的导航卫星,预计在2015年建成由30多颗卫星组成的“北斗二号”卫星导航定位系统,此系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成.现在正在服役的“北斗一号”卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地面36000km的地球同步轨道上.而美国的全球卫星定位系统(简称GPS)由24颗卫星组成,这些卫星距地面的高度均为20000km.则下列说法中正确的是( )
正确答案
解析
解:
A、根据万有引力等于卫星的向心力可知,人造卫星的轨道半径、速度与卫星的质量无关,所以“北斗一号”系统中的三颗卫星的质量不一定要相等.故A错误.
B、根据开普勒第三定律=k,得知,GPS的卫星比“北斗一号”的卫星轨道半径小,则其周期也比“北斗一号”的卫星周期短.故B正确.
C、“北斗二号”卫星导航定位系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成,而“北斗一号”系统的三颗卫星都定位在地球同步轨道上,由卫星的加速度公式a=得知,“北斗二号”中的每颗卫星不一定比“北斗一号”中的每颗卫星的加速度大.故C错误.
D、由卫星的速度公式v=分析可知,“北斗二号”中的中轨道卫星的线速度大于高轨道卫星的线速度.故D错误.
故选B
为了尽量减少发射卫星时火箭所提供的能量,可以利用地球的自转,让卫星由西向东发射,现假设某火箭的发射场地就在赤道表面附近;
(1)如果使卫星在地球赤道面的附近做匀速圆周运动,则卫星相对于地心运行的速度大小是多少?卫星相对于地球表面运行的速度大小又是多少?
(2)如果某卫星的质量是2×103kg,由于地球的自转使得卫星具有了一定的初动能,这一初动能即为利用地球的自转与地球没有自转相比较,火箭发射卫星时所节省的能量,求此能量的大小.
(已知万有引力恒量G=6.67×10-11nm2/kg2,地球的半径为R=66.4×103km,地球自转周期为24h,表面重力加速度为9.8m/s2,要求答案保留两位有效数字)
正确答案
解:(1)在发射之初,由于地球的自转,使得卫星具有一初速度,其大小为
km/s
卫星在地球附近绕地球作圆周运动时重力提供向心力,设卫星作圆周运动的速度(即卫星对地心的速度)为v,由牛顿第二定律得
即
∴对于地面的速度应达到v0=v-v′=7.4km/s
(2)节省的能量=2.2×108J
答:(1)卫星相对于地心运行的速度大小是7.9km/s,卫星相对于地球表面运行的速度大小是7.4km/s.
(2)火箭发射卫星时所节省的能量为2.2×108J.
解析
解:(1)在发射之初,由于地球的自转,使得卫星具有一初速度,其大小为
km/s
卫星在地球附近绕地球作圆周运动时重力提供向心力,设卫星作圆周运动的速度(即卫星对地心的速度)为v,由牛顿第二定律得
即
∴对于地面的速度应达到v0=v-v′=7.4km/s
(2)节省的能量=2.2×108J
答:(1)卫星相对于地心运行的速度大小是7.9km/s,卫星相对于地球表面运行的速度大小是7.4km/s.
(2)火箭发射卫星时所节省的能量为2.2×108J.
如图是我国于2011年9月29日发射的“天宫一号A”目标飞行器和2012年6月16日发射的“神舟九号B”飞船交会对接前共面近圆轨道示意图.下列说法中正确的是( )
正确答案
解析
解:根据G=m
=mω2r=m
=ma得:
线速度v=,角速度ω=
,周期T=2π
,向心加速度a=
,可见,轨道半径越大,线速度越小,角速度越小,加速度越小,周期越大.所以A的线速度、角速度、加速度都小于B,只有周期大于B.故CD正确,AB错误.
故选CD
如图所示,两颗人造地球卫星A和B绕地球做匀速圆周运动,两颗卫星的圆形轨道均位于赤道平面内.已知两颗卫星的轨道半径的大小关系为rA=2rB,卫星A的周期为TA
(1)求卫星B的运行周期;
(2)已知两颗卫星绕行方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上),则至少经过多长时间,它们再一次相距最近?
正确答案
解:(1)设地球质量为M,卫星A和B质量分别为mA、mB
两颗人造地球卫星A和B绕地球做匀速圆周运动,应用万有引力提供向心力列出等式:
①
②
由①②联立解得:③
(2)至少经过时间t它们再一次相距最近,此时a比b多转一圈,
即 ④
由③④联立解得:
答:(1)卫星B的运行周期是;
(2)至少经过时间,它们再一次相距最近.
解析
解:(1)设地球质量为M,卫星A和B质量分别为mA、mB
两颗人造地球卫星A和B绕地球做匀速圆周运动,应用万有引力提供向心力列出等式:
①
②
由①②联立解得:③
(2)至少经过时间t它们再一次相距最近,此时a比b多转一圈,
即 ④
由③④联立解得:
答:(1)卫星B的运行周期是;
(2)至少经过时间,它们再一次相距最近.
在同一轨道上运行的卫星,它们的质量可以不同,也可以相同.______(判断对错)
正确答案
对
解析
解:向心力由万有引力提供,由牛顿第二定律得:
故卫星的运行轨道与卫星的质量无关,故卫星的质量可以不同,也可以相同.
故答案为:对
已知万有引力常量G,地球的半径R,地球表面重力加速度g和地球自转周期T.不考虑地球自转对重力的影响,求:
(1)地球的质量和密度;
(2)地球同步卫星的高度;
(3)第一宇宙速度.
正确答案
解:(1)地球表面的物体受到的重力等于万有引力,∴,∴地球的质量M=
又地球的体积V=πR3,密度公式ρ=
,联立得地球的密度:ρ=
.
(2)地球的同步卫星的万有引力提供向心力:=
,
代入地球的质量得卫星的高度:h=-R.
(3)地球的近地卫星所受的万有引力提供向心力,∴,
代入地球的质量得第一宇宙速度:.
答:(1)地球的质量为,密度为
;
(2)地球同步卫星的高度为-R;
(3)第一宇宙速度为.
解析
解:(1)地球表面的物体受到的重力等于万有引力,∴,∴地球的质量M=
又地球的体积V=πR3,密度公式ρ=
,联立得地球的密度:ρ=
.
(2)地球的同步卫星的万有引力提供向心力:=
,
代入地球的质量得卫星的高度:h=-R.
(3)地球的近地卫星所受的万有引力提供向心力,∴,
代入地球的质量得第一宇宙速度:.
答:(1)地球的质量为,密度为
;
(2)地球同步卫星的高度为-R;
(3)第一宇宙速度为.
某人造地球卫星因受高空稀薄气体的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可以近似看作圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为r1,后来变为r2,r2<r1.以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能,T1、T2表示卫星在这两个轨上绕地球运动的周期,E1、E2表示卫星在这两个轨上的机械能.则( )
正确答案
解析
解:根据万有引力提供圆周运动向心力有:
可知,卫星的线速度,所以当卫星轨道半径变小时,卫星的线速度增大,动能增大,即Ek2>Ek1,
卫星的周期T=,所以当卫星的轨道半径变小时,卫星的周期变大,即T2<T1,
由于卫星运动过程中克服阻力做功,所以卫星的机械能减小,即E1>E2,
所以C正确,ABD错误.
故选:C.
(2015秋•福建期末)2015年9月20日,我国利用一枚运载火箭成功将20颗微小卫星送入离地面高度约为520km的轨道.已知地球半径约为6 400km.若将微小卫星的运行轨道视为圆轨道,则与地球同步卫星相比,微小卫星的( )
正确答案
解析
解:由=mr
=ma 可得
①
②v=
③a=
④
因同步卫星的半径大于微小卫星的半径,则
A、由T=,知半径小的周期小,则A错误
B、由 知半径小的角速度大,则B错误
C、由v= 半径小的线速度大,则C正确
D、由a= 半径小的加速度大,则D错误
故选:C
已知一颗质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动,运动周期为T1,该行星的自转周期为T2,万有引力常量为G.根据这些已知量可以求出( )
正确答案
解析
解:A、研究行星绕太阳做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,列出等式
即=
只知道运动周期为T1,所以无法求解行星到太阳的距离,故A错误
B、卫星绕该行星运行的第一宇宙速度v=,由于不知道行星的半径,所以无法求解卫星绕该行星运行的第一宇宙速度,故B错误
C、该行星绕太阳运动的向心加速度a=,由于不知道行星到太阳的距离,所以无法求解该行星绕太阳运动的向心加速度,故C错误
D、根据同步卫星的特点,由万有引力提供向心力
=
,所以能求出该行星的同步卫星的运动轨道半径,故D正确
故选D.
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