- 万有引力与航天
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A、B两颗人造地球卫星质量之比为l：2，轨道半径之比为2：1，则它们的运行周期之比为（ ）
A1：2
B1：4
C2
D4：1
正确答案
解析
解：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，
根据万有引力提供向心力，有
得：T=
轨道半径之比为2：1，则它们的运行周期之比为2
故选：C．
（1）飞船加速度a的大小；
（2）飞船速度v的大小．
正确答案
解：（1）对于飞船，由万有引力提供向心力，可得：
ma=
解得：a=
（2）由于飞船做圆周运动，得：ma=
解得：v=
答：
（1）飞船加速度a的大小为
（2）飞船速度v的大小为
解析
解：（1）对于飞船，由万有引力提供向心力，可得：
ma=
解得：a=
（2）由于飞船做圆周运动，得：ma=
解得：v=
答：
（1）飞船加速度a的大小为
（2）飞船速度v的大小为
将地球同步卫星与月球绕地球公转的轨道半径分别记为R1、R2．已知月球的公转周期为27d，则
正确答案
解析
解：根据万有引力提供圆周运动向心力有：
得卫星运动的周期：T=
可得月球周期与同步卫星周期的比值：
所以月球到地球的距离与同步卫星到地球的距离比为：
故答案为：
正确答案
解析
解：A、B、根据万有引力提供向心力G
得：v=
C、D、a=
故选：AC
在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x．通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
（1）月球的密度ρ；
（2）环绕月球表面的宇宙飞船的速率v．
正确答案
解：（1）物体在月球表面做平抛运动，
水平方向上：x=v0t
竖直方向上：h=
月球表面的重力加速度：g=
设月球的质量为M，对月球表面质量为m的物体，根据万有引力等于重力有
解得：M=
根据密度的公式得：ρ=
（2）设环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率为v，根据万有引力等于重力则
有：mg=
解得：v=
答：（1）月球的密度为
（2）环绕月球表面的宇宙飞船的速率为
解析
解：（1）物体在月球表面做平抛运动，
水平方向上：x=v0t
竖直方向上：h=
月球表面的重力加速度：g=
设月球的质量为M，对月球表面质量为m的物体，根据万有引力等于重力有
解得：M=
根据密度的公式得：ρ=
（2）设环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率为v，根据万有引力等于重力则
有：mg=
解得：v=
答：（1）月球的密度为
（2）环绕月球表面的宇宙飞船的速率为
（1）10月31日17时28分，“嫦娥一号”卫星发动机关闭，轨道控制结束．卫星进入地月转移轨道．已知地球质量约为月球质量的81倍，地球到月球直线距离约为38万公里，则卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时大约距月球多远？（结果取一位有效数字）
（2）11月7日8点34分“嫦娥一号”第三次近月制动成功，卫星在距月球表面高h的圆形轨道上绕月球做周期T的匀速圆周运动．已知月球的半径R月，引力常量G，忽略地球对卫星的引力作用，据此计算月球的质量（用G、T、h、R月表示）．
正确答案
解：（1）由万有引力定律：当卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时，有
又：
解得：此卫星距离月球的距离为r2=4×104km
（2）月球对“嫦娥一号”的万有引力提供其做圆周运动的向心力．
由
得：
答：（1）卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时大约距月球4×104km．
（2）月球的质量为
解析
解：（1）由万有引力定律：当卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时，有
又：
解得：此卫星距离月球的距离为r2=4×104km
（2）月球对“嫦娥一号”的万有引力提供其做圆周运动的向心力．
由
得：
答：（1）卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时大约距月球4×104km．
（2）月球的质量为
我国发射的神舟号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看作是匀速圆周运动，飞船的运动和地球同步卫星的运动相比，下列判断正确的是（ ）
正确答案
解析
解：卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，故：
解得：v=
A、“神舟”六号载人宇宙飞船的周期约为90min，同步卫星的周期为24h，根据②式，同步卫星的轨道半径大，故A错误；
B、同步卫星的轨道半径大，根据①式，飞船的速度大，故B错误；
C、同步卫星的轨道半径大，根据③飞船运动的角速度大于同步卫星运动的角速度，则C错误
D、同步卫星的轨道半径大，根据④飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度，则D正确
故选：D
2003年10月15日，随着“神州五号”载人飞船的发射升空，设飞船在离地面高度为h，在一圆形轨道上做匀速圆周运动，地球半径R，地球表面重力加速度为g．
求：（1）飞船在轨道上运行的速度大小？
（2）飞船运行的周期？
正确答案
解：（1）根据万有引力提供向心力，有：
所以：
又因为地球表面的物体受到的重力等于万有引力
故：
（2）根据万有引力提供向心力，有：
所以：
又因为：GM=R2g
故：
答：（1）飞船在轨道上运行的速度大小为
（2）飞船运行的周期为
解析
解：（1）根据万有引力提供向心力，有：
所以：
又因为地球表面的物体受到的重力等于万有引力
故：
（2）根据万有引力提供向心力，有：
所以：
又因为：GM=R2g
故：
答：（1）飞船在轨道上运行的速度大小为
（2）飞船运行的周期为
“嫦娥二号”进入环月轨道后，分别在距月球表面最远100km，最近15km高度的轨道上做圆周运动，此高度远小于月球的半径，设“嫦娥二号”绕月与月绕地的转动方向同向．已知地球的质量为月球质量的k倍，月球绕地球运行的轨道半径为月球的半径的n倍，月球绕地球运行的周期为T．若某时刻“嫦娥二号”距地球最远，经△t时间“嫦娥二号”距地球最近，则△t为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：对于月球绕地球运动，根据万有引力提供向心力
又因为已知地球的质量为月球质量的k倍，所以
对于“嫦娥二号”绕月球运动，
所以T′=
所以月球的角速度ω=
“嫦娥二号”的角速度ω′=
由于“嫦娥二号”绕月与月绕地的转动方向同向，所以有π=（ω′-ω）•△t
即
所以
故B正确，ACD错误．
故选：B．
正确答案
解析
解：A、根据人造卫星的万有引力等于向心力，
v=
A的轨道在B的轨道外侧，则A卫星的运行速度小于B卫星的运行速度，故A错误；
B、A的轨道在B的轨道外侧，则A卫星需要的发射速度大于B卫星需要的发射速度，故B正确；
C、第一宇宙速度是最大的环绕地球运动的速度，所以A卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故C错误；
D、T=2π
故选：BD．
在某星球表面高度为H的岩石上以初速度v0水平抛出一个物体，（如果仅考虑物体受该星球的引力作用，忽略其它力的影响）通过测量得到物体落到星球表面的速度大小为v=3v0，已知该星球的直径为D，若发射一颗在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动的卫星，求这颗卫星的运动速度．
正确答案
解：物体做平抛运动
竖直方向做自由落体
解得：
物体落到地面上的速度大小
代入数据化简
解得星球表面附近的重力加速度
对星球表面附近的卫星，由牛顿第二定律有：
对星球表面附近的物体由牛顿第二定律有：
解得
答：这颗卫星的运动速度为
解析
解：物体做平抛运动
竖直方向做自由落体
解得：
物体落到地面上的速度大小
代入数据化简
解得星球表面附近的重力加速度
对星球表面附近的卫星，由牛顿第二定律有：
对星球表面附近的物体由牛顿第二定律有：
解得
答：这颗卫星的运动速度为
A卫星运行的线速度为
B卫星距地面的高度
C卫星的质量为
D卫星运行的角速度为
正确答案
解析
解：A、从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方转过的圆心角为θ=
据ω=
据线速度v=rω，所以卫星运行的线速度为
B、根据万有引力提供圆周运动向心力有
r=
C、根据已知条件无法求出卫星的质量，故C错误；
故选：D．
地球的重力加速度为g，半径为R，万有引力恒量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据．
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．
正确答案
解：（1）因为卫星绕地球表面附近做圆周运动，所以可认为其轨道半径是地球的半径R，万有引力等于重力，
由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力得：
mg=m
得第一宇宙速度：v=
（2）根据万有引力提供向心力得：
且
解得：T=
答：（1）第一宇宙速度的计算式为
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，则卫星的运行周期T为
解析
解：（1）因为卫星绕地球表面附近做圆周运动，所以可认为其轨道半径是地球的半径R，万有引力等于重力，
由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力得：
mg=m
得第一宇宙速度：v=
（2）根据万有引力提供向心力得：
且
解得：T=
答：（1）第一宇宙速度的计算式为
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，则卫星的运行周期T为
已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响．则地球的质量为______；若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，则卫星的运行周期T为______．
正确答案
解析
解：在地球表面忽略自转的影响，由万有引力等于重力知
故答案为：
为了实验“神舟六号”飞船安全着陆，在飞船距离地面约1m时（即将着陆前的瞬间），安装在返回舱底部的四台发动机同时点火工作，使返回舱的速度由8m/s降至2m/s．设返回舱质量为3.5×103kg，减速时间为0.2s．设上述减速过程为匀变速直线运动，试回答和计算下列问题：（g取10m/s2）
（1）在返回舱减速下降过程中，航天员处于超重还是失重状态？计算在减速时间内，航天员承受的载荷值（即航天员所受的支持力与自身重力的比值）；
（2）计算在减速过程中，返回舱受到四台发动机推力的大小．
正确答案
解：
（1）因为航天员和返回舱一起做向下的减速运动，加速度方向向上，故此时航天员处于超重状态
已知，在减速前返回舱的速度v1=8m/s，减速后返回舱的速度v2=2m/s，减速时间t=0.2s
所以返回舱减速时的加速度
对航天员进行受力分析，航天员受到座椅向上的支持力N和向下的重力mg，合力使航天员产生加速度，所以根据牛顿第二定律有：
N-mg=ma
所以N=m（g+a）
所以航天员的载荷值：
（2）设返回舱受到的推力为F，由（1）问可知返回舱在发动机点火后的加速度a=30m/s2，方向向上
根据牛顿第二定律有：F-Mg=Ma
∴F=M（g+a）=3.5×103×10×（10+30）N=1.4×105N
答：（1）航天员处于超得状态，航天员承受的载荷值为：4；
（2）返回舱4台发动机的推力为1.4×105N
解析
解：
（1）因为航天员和返回舱一起做向下的减速运动，加速度方向向上，故此时航天员处于超重状态
已知，在减速前返回舱的速度v1=8m/s，减速后返回舱的速度v2=2m/s，减速时间t=0.2s
所以返回舱减速时的加速度
对航天员进行受力分析，航天员受到座椅向上的支持力N和向下的重力mg，合力使航天员产生加速度，所以根据牛顿第二定律有：
N-mg=ma
所以N=m（g+a）
所以航天员的载荷值：
（2）设返回舱受到的推力为F，由（1）问可知返回舱在发动机点火后的加速度a=30m/s2，方向向上
根据牛顿第二定律有：F-Mg=Ma
∴F=M（g+a）=3.5×103×10×（10+30）N=1.4×105N
答：（1）航天员处于超得状态，航天员承受的载荷值为：4；
（2）返回舱4台发动机的推力为1.4×105N
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