- 万有引力与航天
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2013年6月20日，在“天宫一号”测出指令长聂海胜的质量．聂海胜受到恒定作用力F从静止开始运动，经时间t时，测速仪测出他运动的速率为υ，则聂海胜的质量为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据匀变速直线运动的规律v=v0+at
知a=
再根据牛顿第二定律F=ma
知m=
故选：B．
“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命．假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，其运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合．下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、根据
“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，知“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍，故A正确
B、根据速度公式v=
C、轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以轨道康复者的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到“轨道康复者”向东运动．故C错误．
D、“轨道康复者”要在原轨道上加速将会做离心运动，到更高的轨道上，故D错误；
故选：A．
两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：
（1）a、b两卫星周期之比Ta：Tb是多少？
（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？
正确答案
解：（1）Ra=2R，Rb=4R
由开普勒行星运动规律知：
所以Ta：Tb=
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，
若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，即
这段时间a经过的周期数为n=
由①②③可得n=
若两卫星反向运转，（
这段时间a经过的周期数为n′=
由①④⑤得n′=
故答案为（1）Ta：Tb=1：2
解析
解：（1）Ra=2R，Rb=4R
由开普勒行星运动规律知：
所以Ta：Tb=
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，
若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，即
这段时间a经过的周期数为n=
由①②③可得n=
若两卫星反向运转，（
这段时间a经过的周期数为n′=
由①④⑤得n′=
故答案为（1）Ta：Tb=1：2
某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．该卫星到地心的距离从r1慢慢减小到r2，用v1、v2和a1、a2分别表示卫星在这两个轨道上的运行速率和向心加速度，则运行速率v1______v2，向心加速度a1______a2（选填“大于”、“小于”或“等于”）．
正确答案
小于
小于
解析
解：根据万有引力提供向心力，得
G
则得 v=
由题意，r1＞r2，由上式可得 v1＜v2，a1＜a2．
故答案为：小于；小于
甲、乙两个做匀速圆周运动的卫星，角速度和线速度分别为ω1、ω2和v1、v2，如果它们的轨道半径之比R1：R2=1：2，则下列说法中正确的是（ ）
A
Bω1：ω2=2：1
C
D
正确答案
解析
解：A、B：因为万有引力等于向心力，据
C、D：因为
故选AC．
“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，则可估算月球的（ ）
正确答案
解析
解：A、研究“嫦娥二号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式
M=
由于嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行，所以R可以认为是月球半径．
根据密度公式：ρ=
B、根据A选项分析，由于不知道月球半径R，所以不能求出月球质量．故B错误．
C、根据A选项分析，不能求出月球半径，故C错误．
D、根据题意不能求出月球自转周期，故D错误．
故选：A．
人造卫星绕地球做圆周运动，假如卫星的半径变为原来的2倍，卫星仍做圆周运动，则（ ）
A卫星的向心加速度减小到原来的
B卫星的角速度减小到原来的
C卫星的周期增大到原来的8倍
D卫星的周期增大到原来的2
正确答案
解析
解：卫星绕地球圆周运动万有引力提供向心力有：
A、向心加速度a=
B、角速度
CD、周期T=
故选：AD．
（2015•北京模拟）某行星的半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星的周期为T0，又知该行星的一颗同步卫星的线速度的大小为v，不考虑其他星球的影响，仅根据以上物理量不能求出（ ）
正确答案
解析
解：A、以其第一宇宙速度运行的卫星的轨道半径即为行星的半径R，
根据万有引力提供向心力得：
由于题目中没有告知万有引力常量G，所以无法求解该行星质量，故A正确；
B、星球表面重力等于万有引力，则有：
mg=m
解得：该行星表面的重力加速度g=
设同步卫星的质量为m′，则有：
由①②解得：
h=
同步卫星的周期T=
该行星自转周期等于同步卫星周期，故BCD错误．
本题选不可求得的
故选：A
有两颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，设两颗人造地球卫星的质量之比为1：2，轨道半径之比为3：1，则下列比值正确的是（ ）
A这两颗卫星的线速度之比是1：
B这两颗卫星的周期之比是
C这两颗卫星的向心加速度之比是1：9
D这两颗卫星的角速度之比是
正确答案
解析
解：人造地球卫星的万有引力充当向心力，即
A、线速度v=
B、周期T=2π
C、向心加速度a=
D、角速度ω=
故选BC．
一种通信卫星需要“静止”在赤道上空的某一点，因此它的运行周期必须与地球自转周期相同．请你估算：通信卫星离地心的距离大约是月心离地心的距离的几分之一______（月球的公转周期大约为27天．）
正确答案
解析
解：根据万有引力提供向心力：
r=
通信卫星需要“静止”在赤道上空的某一点，它的运行周期必须与地球自转周期相同，即1天．
月球的公转周期大约为27天．
所以通信卫星离地心的距离和月心离地心的距离之比
故答案为：
（1）卫星A的飞行速度；
（2）从图示时刻开始到卫星A、B相距最近所用的时间．
正确答案
解：（1）A卫星绕地球匀速圆周运动：
地球表面上物：
解得：
（2）A卫星绕地球匀速圆周运动：
B卫星绕地球匀速圆周运动：
从图示位置到AB最近应满足：ωAt-ωBt=π+k×2π k=0，1，2，3，…
解得：
答：（1）卫星A的飞行速度为
解析
解：（1）A卫星绕地球匀速圆周运动：
地球表面上物：
解得：
（2）A卫星绕地球匀速圆周运动：
B卫星绕地球匀速圆周运动：
从图示位置到AB最近应满足：ωAt-ωBt=π+k×2π k=0，1，2，3，…
解得：
答：（1）卫星A的飞行速度为
两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则a、b两卫星轨道半径之比ra：rb=______；a、b两卫星周期之比Ta：Tb=______； 线速度之比Va：Vb=______．
正确答案
1：2
解析
解：设地球的质量为M，a、b卫星质量分别为ma、mb，线速度分别为va、vb，周期分别为Ta、Tb，
（1）a、b两卫星轨道半径之比
（2）由万有引力提供向心力：
对a卫星：
对b卫星：
解①②两式得：
（3）由圆周运动的规律：
解④⑤两式得：
故答案为：1：2；：
卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，不仅用实验验证了万有引力定律的正确性，而且应用引力常量还可以测出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．已知引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．
（1）根据以上信息和所学知识推导地球质量M和地球密度ρ；
（2）根据题干中给出的信息和所学知识，推导地球的第一宇宙速度V1；
（3）已知太阳系的某颗小行星半径为地球半径的
正确答案
解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
即：G
地球的密度：ρ=
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G
（3）小行星的密度与地球密度相同，
则：
小行星的低于宇宙速度：v2=
答：（1）地球质量M为
（2）地球的第一宇宙速度V1为
（3）该小行星的第一宇宙速度v2为
解析
解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
即：G
地球的密度：ρ=
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G
（3）小行星的密度与地球密度相同，
则：
小行星的低于宇宙速度：v2=
答：（1）地球质量M为
（2）地球的第一宇宙速度V1为
（3）该小行星的第一宇宙速度v2为
正确答案
解析
解：由题意知a与c的周期相同，根据向心加速度与周期的关系知半径越大其向心加速度越大，故有aa＜ac，线速度与周期的关系知va＜vc；再根据万有引力提供圆周运动向心力有
A、由以上分析知，ab＞ac＞aa，故A正确；
B、向更高轨道上发射卫星需要克服重力做更多的功，根据能量关系知向更高轨道发射卫星需要更大的发射速度，故B错误；
C、由分析知：vb＞vc＞va，故C错误；
D、同步卫星的周期与地球自转周期相同，即Ta=Tc，D错误．
故选：A
质量为m的人造地球卫星在地面上的重力为G，它在到地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运动时（ ）
A速度为
B周期为4π
C动能为
D重力为0
正确答案
解析
解：质量为m的人造地球卫星在地面上的重力为G，
所以地面上的重力加速度为g=
根据万有引力等于重力
A、由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力得v=
B、由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力得T=2π
C、动能是
D、重力是
故选BC．
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