- 万有引力与航天
- 共16469题
如图所示，一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，其轨道平面与地球赤道平面重合，离地面的高度等于地球的半径R0，该卫星不断地向地球发射微波信号。已知地球表面重力加速度为g。
（1）求卫星绕地球做圆周运动的周期T；
（2）设地球自转周期为T0，该卫星绕地球转动方向与地球自转方向相同，则在赤道上的任意一点能连续接收到该卫星发射的微波信号的时间是多少？（图中A1、B1为开始接收到信号时，卫星与接收点的位置关系）
正确答案
解：（1）对卫星而言，地球对它的万有引力提供向心力，有：
对地面上一物m'，地球对它的万有引力等于重力，有：
由以上两方程得：
（2）设人在B1位置刚好看见卫星出现在A1位置，最后在B2位置看到卫星从A2位置消失
OA1=2OB1，有∠A1OB1=∠A2OB2=π/3
设从B1到B2时间为t，则有：
则有
某物体在地球表面上受到的重力为160N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=
正确答案
1.92×104km
随着航天技术的不断发展，人类宇航员可以乘航天器登陆一些未知星球。一名宇航员在登陆某星球后为了测量此星球的质量进行了如下实验：他把一小钢球托举到距星球表面高度为h处由静止释放，计时仪器测得小钢球从释放到落回星球表面的时间为t。此前通过天文观测测得此星球的半径为R，已知万有引力常量为G，不计小钢球下落过程中的气体阻力，可认为此星球表面的物体受到的重力等于物体与星球之间的万有引力。求：
(1)此星球表面的重力加速度g；
(2)此星球的质量M；
(3)若距此星球表面高H的圆形轨道有一颗卫星绕它做匀速圆周运动，求卫星的运行周期T。
正确答案
解：（1）小钢球从释放到落回星球表面做自由落体运动
（2）钢球的重力等于万有引力
得此星球的质量为
（3）距此星球表面高的圆形轨道有一颗卫星绕它做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
下图为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想，我国自主研制的第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”的发射成功，标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步。一位勤于思考的同学，为探月宇航员设计了如下实验：在月球表面，一劲度系数为k的轻质弹簧上端与质量为m1的物体A相连，下端与质量为m2的物体B相连，开始时A、B在竖直方向上处于静止状态。现用竖直向上的拉力使A以大小为a的加速度匀加速运动了时间t，此时B刚好离开地面（已知引力常数G，月球半径为R，不计月球自转）。请你求出：
（1）月球的质量；
（2）环绕在月球表面附近做匀速圆周运动的宇宙飞船的速率。
正确答案
解：对A：m1g=kx1；对B：m2g=kx2；对A：
（1）月球表面的物体
（2）对宇宙飞船
航天飞机，可将物资运送到空间站，也可维修空间站出现的故障。
（1）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某次维修作业中，与空间站对接的航天飞机的速度计显示飞机的速度为v，则该空间站轨道半径R′为多大？
（2）为完成某种空间探测任务，在空间站上发射的探测器通过向后喷气而获得反冲力使其启动。已知探测器的质量为M，每秒钟喷出的气体质量为m，为了简化问题，设喷射时探测器对气体做功的功率恒为P，在不长的时间内探测器的质量变化较小，可以忽略不计。求喷气t秒后探测器获得的动能是多少？
正确答案
解：（1）设地球质量为M0，在地球表面，
设空间站质量为m′，绕地球作匀速圆周运动时：
联立解得
（2）因为探测器对喷射气体做功的功率恒为P，而单位时间内喷气质量为m，故在t时 间内，据动能定理可求得喷出气体的速度为：
另一方面探测器喷气过程中系统动量守恒，则：
又：
联立得探测器获得的动能：
航天员乘坐航天飞机去修理位于离地球表面h的圆形轨道上的哈勃太空望远镜片，航天飞机s进入与望远镜H相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在航天飞机前方数千米处，如图所示。设G为引力常数，M为地球质量，R为地球半径，V1为第一宇宙速度。
（1）在如图所示的航天飞机s内，质量m=70 kg的航天员的视重是多少？
（2）计算航天飞机在轨道上的速率和周期；
（3）航天飞机必须先进入半径较小的轨道，才有较大的速率追上望远镜。试判断航天飞机要进入较低轨道时应在原轨道上加速还是减速？说明理由。
正确答案
解：（1）由于完全失重，视重为0N
（2）对近地卫星有：
对航天飞机有：
解方程①、②得：
由
（3）减速，当
月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T0。我国的“嫦娥1号”探月卫星于2007年11月7日成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月面的高度为h。若月球质量为M，月球半径为R，万有引力恒量为G。
（1）求“嫦娥1号”绕月运行的周期；
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”将绕月运行多少圈？
（3）“嫦娥1号”携带了一台CCD摄像机（摄像机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄，要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
正确答案
解：（1）“嫦娥1号”轨道半径r=R+h，由
可得“嫦娥1号”卫星绕月周期
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”将绕月运行圈数
（3）摄像机只要将月球的“赤道”拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一周可对月球“赤道”拍摄两次，所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为
有一颗地球卫星，绕地球做匀速圆周运动卫星与地心的距离为地球半径
（1）卫星做匀速圆周运动的周期；
（2）卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间；
（3）太阳能收集板在卫星绕地球一周的时间内最多转化的电能？
正确答案
解：（1）地球卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律：
在地球表面有：
∴卫星做匀速圆周运动的周期为：
（2）如图，当卫星在阴影区时不能接受阳光，据几何关系：∠AOB=∠COD=
∴卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间为：t=
（3）最多转化的电能：
一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径r=2R0（R0为地球半径），卫星的运转方向与地球的自转方向相同，设地球自转的角速度为ω0。若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它再次通过该建筑物上方所需时间（已知地球表面的重力加速度为g）。
正确答案
解：绕地球运行的卫星，地球对卫星的万有引力提供向心力，设卫星的角速度为ω，根据向心力公式有：
解得：
设经过时间t卫星再次通过建筑物上方，根据几何关系有
（ω－ω0）t=2π
联立解得：
甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的0.5倍，乙距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：
（1）两卫星运行的速度之比；
（2）乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？
正确答案
（1）2：1
（2）
如图所示为我国“嫦娥一号”卫星从发射到进入月球工作轨道的过程示意图．在发射过程中，经过一系列的加速和变轨，卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号”卫星的速度在很短时间内由v1提高到v2，进入“地月转移轨道”，开始了从地球向月球的飞越．“嫦娥一号”卫星在“地月转移轨道”上经过114小时飞行到达近月点Q时，需要及时制动，使其成为月球卫星．之后，又在绕月球轨道上的近月点Q经过两次制动，最终进入绕月球的圆形工作轨道I．已知“嫦娥一号”卫星质量为m0，在绕月球的圆形工作轨道I上运动的周期为T，月球的半径r月，月球的质量为m月，万有引力恒量为G．
（1）求卫星从“48小时轨道”的近地点P进入”地月转移轨道”过程中主发动机对“嫦娥一号”卫星做的功（不计地球引力做功和卫星质量变化）；
（2）求“嫦娥一号”卫星在绕月球圆形工作轨道I运动时距月球表面的高度；
（3）理论证明，质量为m的物体由距月球无限远处无初速释放，它在月球引力的作用下运动至距月球中心为r处的过程中，月球引力对物体所做的功可表示为W= G．为使“嫦娥一号”卫星在近月点Q进行第一次制动后能成为月球的卫星，且与月球表面的距离不小于圆形工作轨道I的高度，最终进入圆形工作轨道，其第一次制动后的速度大小应满足什么条件？
正确答案
（1）
（3）
（1）根据动能定理，主发动机在“嫦娥一号”卫星进入地月转移轨道过程中对卫星做的功
（2）设“嫦娥一号”卫星在圆轨道І上运动时距月球表面的高度为h，根据万有引力定律和向心力公式有
（3）设“嫦娥一号”卫星在近月点进行第一次制动后，在圆轨道І上运动的速度为u1，则
设“嫦娥一号”卫星在通过近月点脱离月球引力束缚飞离月球的速度为u2，根据机械能守恒定律
所以，“嫦娥一号”卫星在近月点进行第一次制动后的速度u应满足的条件是：
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化．卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．
附：解答本题可能用到的数学知识：
若sinθ=a，则θ=arcsina；若cosθ=b，则θ=arccosb．
正确答案
如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡．
设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期．
由①②式得(
T1
T
)2=
r1
r
)3③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B．
由几何关系得 rcosα=R-R1⑤r1cosβ=R1⑥
由③④⑤⑥式得t=
从事太空研究的宇航员需要长时间在太空的微重力条件下工作、生活，这对适应了地球表面生活的人，将产生很多不良的影响，例如容易患骨质疏松等疾病。为了解决这一问题，有人建议在未来的太空城里建设旋转的密封圆环形太空舱，宇航员在环形舱内工作，圆环的每一段既是宇航员的工作或生活场所，又是通道，宇航员可以在整个环形舱内行走一圈后回到出发点。这样的环舱从地面发射到轨道上后，通过动力装置使环形舱获得一定的角速度绕圆环中心转动，撤去动力，由于角动量守恒，环形舱可以不停地转动（视为绕O点的匀速圆周运动）下去，宇航员就可以在类似地面重力的情况下生活了。如图，
（1）说明太空舱中的宇航员感觉到的“重力”方向。
（2）假设O点到太空舱的距离为R=90m（R远大于太空舱间距），要想让舱中的宇航员能体验到与地面上重力相似的感觉，则太空舱转动的角速度大约为多少？
正确答案
（1）“重力”的方向是由O点指向太空舱。
（2）
（1）在太空舱中宇航员感觉到的的“重力”的方向应该是由O点指向太空舱。
（2）设太空舱转动的角速度为ω，则宇航员受到的指向圆心方向的支持力提供做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
宇航员能体验到与地面上重力相似的感觉，即指
所以综合上式得
某行星的质量为M，半径为R，自转周期为T，已知万有引力常量为G，试求：
（1）该行星两极的重力加速度；
（2）该行星“赤道”上的重力加速度；
（3）要从该行星表面发射一颗质量为m0的“近地卫星”，至少应该补充多少机械能？
正确答案
（1）对于放置于行星两极的质量为m的物体，有万有引力等于重力得出：
G
得：g=
（2）对于放置于行星赤道上的质量为m的物体，它随行星做匀速圆周运动．设它受到的“地面”支持力为N，则有
G
其中a=
N和重力是一对平衡力，所以N=mg′
解以上三式得g′=
（3）卫星在赤道上时，初速度最大，需要补充的机械能最少．
初速度v1=
近地环绕时，有G
需要补充的机械能△E=
答：（1）行星两极的重力加速度是
（2）该行星“赤道”上的重力加速度是
（3）至少应该补充的机械能为
2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功．中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家．据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空．此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10-11牛•米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度．（结果保留1位有效数字）
正确答案
设地球半径为R，地球质量为M，地球密度为ρ；飞船距地面高度为h，运行周期为T，飞船质量为m．
据题意题T=
飞船沿轨道运行时有F引=F向即G
而M=ρV=ρ•
由①②③式得：ρ=
答：地球的密度为6×103kg/m3．
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