- 万有引力与航天
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科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次（即距离最近），已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，且在同一个面同向转动，求
（1）太阳的质量
（2）小行星与地球的最近距离．
正确答案
解：地球绕太阳运动
故太阳的质量为：
（2）设小行星运行周期为T1，
对小行星，有：
解得：
∴小行星与地球最近距离S=R1-R=（
答：（1）太阳的质量为
（2）小行星与地球的最近距离为（
解析
解：地球绕太阳运动
故太阳的质量为：
（2）设小行星运行周期为T1，
对小行星，有：
解得：
∴小行星与地球最近距离S=R1-R=（
答：（1）太阳的质量为
（2）小行星与地球的最近距离为（
若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2：
A
B
C2R
D
正确答案
解析
解：对于任一行星，设其表面重力加速度为g．
根据平抛运动的规律得 h=
则水平射程x=v0t=v0
可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比 
根据G
可得 
解得行星的半径 R行=R地
故选：C．
宇航员到达某星球后，他在该星球上取得一矿石，测得其质量为M0，体积为V0，重力为G0，若矿石密度等于该星球平均密度，引力常量为G，该星球视为球形，求该星球半径的表达式．
正确答案
解：矿石密度：ρ=
矿石受到的重力等于万有引力：G
星球密度：ρ=
解得：R=
答：该星球半径的表达式是：
解析
解：矿石密度：ρ=
矿石受到的重力等于万有引力：G
星球密度：ρ=
解得：R=
答：该星球半径的表达式是：
（2016•山西模拟）据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1：2，密度之比为5：7．设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是（ ）
Ag′：g=1：4
Bg′：g=7：10
Cv′：v=
Dv′：v=
正确答案
解析
解：AB、在星球表面的物体受到的重力等于万有引力
所以
所以
CD、探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行都是由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律有：
得：
M为中心体质量，R为中心体半径．
由①②得：v=
已知地球和火星的半径之比为1：2，密度之比为5：7，所以探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行线速度大小之比为：v′：v=
故选：C．
美国媒体报道：美国研究人员最近在太阳系边缘新观测到了一个类行星天体，其直径估计在1600公里左右，有可能是自1930年发现冥王星以来人类在太阳系中发现的最大天体-太阳的第十大行星．若万有引力恒量用G表示，该行星天体的球体半径用r、质量用m表示，该行星天体到太阳的平均距离用R表示，太阳的质量用M表示，且把该类行星天体的轨道近似地看做圆，则该天体运行的公转周期T为______．
正确答案
解析
解：天体绕太阳做圆周运动受到的万有引力提供向心力有：
得：
故答案为：
“嫦娥一号”绕月球转动周期为T，轨道半径为r，由此可得月球质量的表达式为______．地球第一宇宙速度v1与地球同步卫星线速度v2相比，v1______v2．（填“＞”“=”“＜”）
正确答案
解：“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
根据万有引力提供向心力
故答案为：
解析
解：“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
根据万有引力提供向心力
故答案为：
已知地球表面处的重力加速度为g，则在距地面高度为地球半径3倍处的重力加速度为（ ）
A
B
C3g
D4g
正确答案
解析
解：在地球表面的物体：G
在距地面高度h=3R处：G
解得：a=
故选：A．
宇航员站在某一星球表面上的某高度，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面上，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
正确答案
解：设抛出点的高度为h，第一次平抛运动的水平位移为x，则：x2+h2=L2
若抛出的初速度为2倍时，则水平位移为2x 因此有：（2x）2+h2=（
设该星球表面的重力加速度为g‘，则：h=
而在该星球表面上，有：
解得：M=
答：该星球的质量M为：
解析
解：设抛出点的高度为h，第一次平抛运动的水平位移为x，则：x2+h2=L2
若抛出的初速度为2倍时，则水平位移为2x 因此有：（2x）2+h2=（
设该星球表面的重力加速度为g‘，则：h=
而在该星球表面上，有：
解得：M=
答：该星球的质量M为：
地球绕太阳的公转可认为是匀速圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T．太阳发出的光经过时间t到达地球．光在真空中的传播速度为c．根据以上条件推算太阳的质量M与地球的质量m之比．（地球到太阳之间的距离远大于它们的大小）
正确答案
解：根据万有引力等于重力得，
地球的轨道半径r=ct，
根据万有引力提供向心力，有：
解得太阳的质量M=
则
答：太阳的质量M与地球的质量m之比为
解析
解：根据万有引力等于重力得，
地球的轨道半径r=ct，
根据万有引力提供向心力，有：
解得太阳的质量M=
则
答：太阳的质量M与地球的质量m之比为
如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量与地球质量之比是（ ）
A
B2
C
D8
正确答案
解析
解：根据万有引力等于重力，列出等式：
得：g=
根据密度与质量关系得：M=ρ•
则得：g=ρ•
星球的密度跟地球密度相同，星球的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，所以星球的半径也是地球的2倍，
所以再根据M=ρ•
故选：D．
“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以（ ）
A求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
B求出月球的质量
C得出
D求出地球的密度
正确答案
解析
解：
A、B“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，由月球的万有引力提供向心力，则有：
G
则得：M月=
可知能求出月球的质量，根据题目条件不能求出“嫦娥三号”探月卫星的质量，故A错误，B正确．
C、同理，月球绕地球做圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则有：
G
则得：M地=
由②、④可知：
D、由于地球的半径未知，不能求出地球的体积，就不能求出地球的密度，故D错误．
故选：B．
行星绕太阳的运动 （ 公转 ）可以近似地看作匀速圆周运动．右表根据观测结果给出四个“内层行星”的公转周期，并给出质量为m=1kg的物体在各行星上所受到的重力大小G，由该表可知：
这四个行星中，______的公转角速度最大；______的重力加速度最大．
正确答案
水星
地球
解析
解：根据角速度与周期的关系公式
根据重力与质量的关系公式G=mg，得
故答案为：水星，地球．
两个小物体（可视位质点）相距一定的距离，他们之间的吸引力大小为F．如果使其中一个物体的质量减小为原来的
正确答案
解析
解：根据万有引力定律得：两个物体间的引力大小为：F=G
则知使其中一个物体的质量减小为原来的
要使它们的相互作用力变为原来的大小F，则它们间的距离应为原来的
故答案为：
某行星的半径为R，它有一颗卫星，卫星绕它公转的轨道半径为r、公转周期为T．万有引力常量为G．求：该行星的质量和密度．
正确答案
解：根据万有引力提供向心力
行星的体积为
故行星的密度为
答：该行星的质量为
解析
解：根据万有引力提供向心力
行星的体积为
故行星的密度为
答：该行星的质量为
某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a=g/2的加速度匀加速竖直上升到某位置时（其中g为地球表面处的重力加速度），其身下体重测试仪的示数为1220N．设地球半径R=6400km，地球表面重力加速度g=10m/s2（求解过程中可能用到
（1）该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
（2）该位置距地球表面的高度h为多大？
正确答案
解：（1）对宇航员受力分析如图：
设：该位置处的重力加速度g′，由牛顿第二定律得：
即：
解得：
（2）设此处距地面高度为h，地球质量为M，半径为R；
物体在地面时：
物体在高为h处时：
两式联立得：
解得：
答：（1）该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的
（2）该位置距地球表面的高度h为128km．
解析
解：（1）对宇航员受力分析如图：
设：该位置处的重力加速度g′，由牛顿第二定律得：
即：
解得：
（2）设此处距地面高度为h，地球质量为M，半径为R；
物体在地面时：
物体在高为h处时：
两式联立得：
解得：
答：（1）该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的
（2）该位置距地球表面的高度h为128km．
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