- 万有引力与航天
- 共16469题
（1）月球表面的重力加速度；
（2）“嫦娥三号”在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的线速度大小；
（3）“嫦娥三号”在椭圆轨道上运行的周期T．（提示：开普勒第三定律
正确答案
解：（1）根据万有引力定律，不考虑月球的自转
有 mg=
可得 g=
（2）对圆轨道，由牛顿第二定律和万有引力定律
解得 v=
（3）对椭圆轨道，由开普勒第三定律，
有 
对圆轨道
则 k=
解得 T=π（2R+h）
答：（1）月球表面的重力加速度为
（2）“嫦娥三号”在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的线速度大小为
（3）“嫦娥三号”在椭圆轨道上运行的周期T为π（2R+h）
解析
解：（1）根据万有引力定律，不考虑月球的自转
有 mg=
可得 g=
（2）对圆轨道，由牛顿第二定律和万有引力定律
解得 v=
（3）对椭圆轨道，由开普勒第三定律，
有
对圆轨道
则 k=
解得 T=π（2R+h）
答：（1）月球表面的重力加速度为
（2）“嫦娥三号”在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的线速度大小为
（3）“嫦娥三号”在椭圆轨道上运行的周期T为π（2R+h）
宇航员站在某一星球表面上H高处的位置，沿水平方向以初速度v0水平抛出一个小球，小球落在星球表面，测得水平位移为x，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球：
（1）表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）该星球的第一宇宙速度v．
正确答案
解：（1）小球在星球表面做平抛运动，
水平方向有：x=v0t
可得小球运动时间为：t=
小球在竖直方向自由落体运动，有：H=
有小球在星球表面的重力加速度为：g=
（2）星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：mg=
得：M=
由于V=
则有：ρ=
（3）物体在星球表面附近能做匀速圆周运动，其向心力由星球的吸引力提供，则有：
得：v=
答：（1）该星球表面的重力加速度
（2）该星球的密度
（3）该星球的第一宇宙速度
解析
解：（1）小球在星球表面做平抛运动，
水平方向有：x=v0t
可得小球运动时间为：t=
小球在竖直方向自由落体运动，有：H=
有小球在星球表面的重力加速度为：g=
（2）星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：mg=
得：M=
由于V=
则有：ρ=
（3）物体在星球表面附近能做匀速圆周运动，其向心力由星球的吸引力提供，则有：
得：v=
答：（1）该星球表面的重力加速度
（2）该星球的密度
（3）该星球的第一宇宙速度
某颗人造地球卫星在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行，其运动可视为匀速圆周运动．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g．请推导：
（1）卫星在圆形轨道上运行速度；
（2）运行周期的表达式．
正确答案
解：（1）地球对人造卫星的万有引力提供人造卫星向心力有：
得：V=
又在地球表面有一质量为m0的物体有：
得：GM=R2g
所以解得：V=
（2）根据万有引力提供向心力，有：
得：T=2π
答：（1）卫星在圆形轨道上运行速度为
（2）运行周期的表达式为
解析
解：（1）地球对人造卫星的万有引力提供人造卫星向心力有：
得：V=
又在地球表面有一质量为m0的物体有：
得：GM=R2g
所以解得：V=
（2）根据万有引力提供向心力，有：
得：T=2π
答：（1）卫星在圆形轨道上运行速度为
（2）运行周期的表达式为
宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，抛出瞬间，小球的动能与重力势能相等（取星球表面为零势能面）．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
（1）小球先后落到该星球表面时的动能之比；
（2）该星球表面的重力加速度；
（3）有一飞船颗绕该星球匀速圆周运动，飞船运行周期为T，该星球的密度为ρ．则星球半径r与飞船的轨道半径R之比为多少？
正确答案
解：（1）设抛出瞬间，小球的重力势能为Ep，则第一种情况有：
抛出瞬间的动能为：EK1=Ep，机械能为：E1=EK1+Ep=2Ep；
根据机械能守恒得小球落到该星球表面时的动能为：EK2=E1=2Ep；
第二种情况：由EK=
根据机械能守恒得小球落到该星球表面时的动能为：EK3=E2=5Ep；
可解得：EK2：EK3=2：5
（2）设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得右图：
L2=h2+（vt）2
（
又 h=
解方程组得：g=
（3）对于卫星有：G
解得：
答：（1）小球先后落到该星球表面时的动能之比是2：5；
（2）该星球表面的重力加速度是
（3）有一飞船颗绕该星球匀速圆周运动，飞船运行周期为T，该星球的密度为ρ．则星球半径r与飞船的轨道半径R之比为
解析
解：（1）设抛出瞬间，小球的重力势能为Ep，则第一种情况有：
抛出瞬间的动能为：EK1=Ep，机械能为：E1=EK1+Ep=2Ep；
根据机械能守恒得小球落到该星球表面时的动能为：EK2=E1=2Ep；
第二种情况：由EK=
根据机械能守恒得小球落到该星球表面时的动能为：EK3=E2=5Ep；
可解得：EK2：EK3=2：5
（2）设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得右图：
L2=h2+（vt）2
（
又 h=
解方程组得：g=
（3）对于卫星有：G
解得：
答：（1）小球先后落到该星球表面时的动能之比是2：5；
（2）该星球表面的重力加速度是
（3）有一飞船颗绕该星球匀速圆周运动，飞船运行周期为T，该星球的密度为ρ．则星球半径r与飞船的轨道半径R之比为
计算一个天体的质量，需要知道绕着该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（ ）
正确答案
解析
解：A、根据
C、根据
故选：BC．
若卫星质量为m、离地球表面的高度为h，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为（ ）
AG
BG
CG
DG
正确答案
解析
解：卫星到地心的距离为：r=R+h
地球对卫星万有引力的大小为：F=G
故选：D
我国将在今年秋季发射神舟九号飞船，实现载人飞船与轨道空间站对接的伟大壮举．若把“神舟”系列载人飞船绕地球运行看作是同一轨道上的匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为h，且已知地球半径为R、地球表面重力加速度为g，万有引力恒量为G．你能计算出下面哪些物理量？能计算的量写出计算过程和结果，不能计算的量说明理由．
（1）地球的质量；
（2）飞船线速度的大小；
（3）飞船所需的向心力．
正确答案
解：（1）能求出地球的质量m
方法一：
方法二：
（2）能求出飞船线速度的大小v
v=
（3）不能算出飞船所需的向心力，因飞船质量未知；
答：（1）地球的质量为
（2）飞船线速度的大小为
（3）无法求解飞船所需的向心力．
解析
解：（1）能求出地球的质量m
方法一：
方法二：
（2）能求出飞船线速度的大小v
v=
（3）不能算出飞船所需的向心力，因飞船质量未知；
答：（1）地球的质量为
（2）飞船线速度的大小为
（3）无法求解飞船所需的向心力．
2013年12月6日17时53分，嫦娥三号探测器成功完成一次“太空刹车”动作，顺利进入距月面平均高度H=100km的环月圆轨道，然后再次变轨进入椭圆轨道，最后进行月球表面软着陆．软着陆过程可简化为三个阶段：距月球表面15km时打开反推发动机减速，下降到距月球表面h1=l00m高度时悬停，寻找合适落月点；找到落月点后继续下降，距月球表面h2=4m时速度再次减为0；此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号质量为m，月球表面重力加速度为g′，月球半径为R，忽略嫦娥三号的质量变化．求嫦娥三号（所有结果均用题给字母表示）：
（1）经“太空刹车”后的速度大小；
（2）悬停时发动机对其的作用力；
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功．
正确答案
解：（1）设月球质量M，在圆轨道时，根据牛顿第二定律
静止在月球表面上的物体m′，
公式代入变换后得：
（2）因受力平衡，有 F=mg′
（3）从h1=l00m处到达h2=4m处过程，设发动机做功W1
由动能定理 mg′（h1-h2）+W1=0
从h2=4m处落至月面过程，关闭所有发动机，发动机做功为0
得发动机做功
答：（1）经“太空刹车”后的速度大小
（2）悬停时发动机对其的作用力为mg′．
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功为mg′（h2-h1）．
解析
解：（1）设月球质量M，在圆轨道时，根据牛顿第二定律
静止在月球表面上的物体m′，
公式代入变换后得：
（2）因受力平衡，有 F=mg′
（3）从h1=l00m处到达h2=4m处过程，设发动机做功W1
由动能定理 mg′（h1-h2）+W1=0
从h2=4m处落至月面过程，关闭所有发动机，发动机做功为0
得发动机做功
答：（1）经“太空刹车”后的速度大小
（2）悬停时发动机对其的作用力为mg′．
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功为mg′（h2-h1）．
2004年，我国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”．嫦娥工程分为“无人月球探测”、“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段，设想在月球表面上，宇航员登测出小物块自由下落h高度所用的时间为t，当飞船在靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动时，测得其周期为T，已知引力常量为G，根据上述各量，试求：
（1）月球表面的重力加速度g月；
（2）月球的质量M．
正确答案
解：（1）根据自由落体有：h=
得月球表面的重力加速度为：g月=
（2）令月球半径为R，则月球表面重力万有引力相等，而近月飞行的卫星由万有引力提供向心力有：
mg月=G
解得月球半径为：
R=
由根据重力与万有引力相等有：
G
月球的质量为：
M=
答：（1）月球表面的重力加速度g月为
（2）月球的质量M为
解析
解：（1）根据自由落体有：h=
得月球表面的重力加速度为：g月=
（2）令月球半径为R，则月球表面重力万有引力相等，而近月飞行的卫星由万有引力提供向心力有：
mg月=G
解得月球半径为：
R=
由根据重力与万有引力相等有：
G
月球的质量为：
M=
答：（1）月球表面的重力加速度g月为
（2）月球的质量M为
2008年9月，神舟七号载人航天飞行获得了圆满成功，我国航天员首次成功实施空间出舱活动、飞船首次成功实施释放小伴星的实验，实现了我国空间技术发展的重大跨越．已知飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．求飞船在该圆轨道上运行时：
（1）速度v的大小和周期T．
（2）速度v与第一宇宙速度的比值．
正确答案
解：（1）用M表示地球质量，m表示飞船质量，由万有引力定律和牛顿定律得
地球表面质量为m0的物体，有
解得飞船在圆轨道上运行时速度
飞船在运行的周期
（2）第一宇宙速度v1满足
因此飞船在圆轨道上运行时速度与第一宇宙速度的比值
答：（1）速度v的大小为
（2）速度v与第一宇宙速度的比值为
解析
解：（1）用M表示地球质量，m表示飞船质量，由万有引力定律和牛顿定律得
地球表面质量为m0的物体，有
解得飞船在圆轨道上运行时速度
飞船在运行的周期
（2）第一宇宙速度v1满足
因此飞船在圆轨道上运行时速度与第一宇宙速度的比值
答：（1）速度v的大小为
（2）速度v与第一宇宙速度的比值为
现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G．求：
（1）试计算该双星系统的运动周期T；
（2）若实验上观测到运动周期为T′，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着密度为ρ的暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，并假定暗物质与星体间的相互作用同样遵守万有引力定律．试根据这一模型计算该双星系统的运动周期T′．
正确答案
解：（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得：
由①、②式得：
（2）暗物质的质量为
根据合力提供向心力
解得
答：（1）计算该双星系统的运动周期T为
（2）该双星系统的运动周期T′为
解析
解：（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得：
由①、②式得：
（2）暗物质的质量为
根据合力提供向心力
解得
答：（1）计算该双星系统的运动周期T为
（2）该双星系统的运动周期T′为
我国第二颗月球探测卫星“嫦娥”二号已于2010年10月1日在西昌卫星发射中心由“长征三号丙”运载火箭成功发射升空．假设该卫星的绕月轨道是圆形的，且距离月球表面高度为h，并已知该卫星的运行周期为T，月球的直径为d，万有引力常量为G．求：
（1）“嫦娥”二号在绕月轨道上运行的速度；
（2）月球的质量．
正确答案
解：（1）嫦娥二号的轨道半径r=
则嫦娥二号的线速度v=
（2）根据
解得月球的质量M=
答：（1）“嫦娥”二号在绕月轨道上运行的速度为
（2）月球的质量为
解析
解：（1）嫦娥二号的轨道半径r=
则嫦娥二号的线速度v=
（2）根据
解得月球的质量M=
答：（1）“嫦娥”二号在绕月轨道上运行的速度为
（2）月球的质量为
两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳做圆周运动的半径分别为r1和r2，若它们只受太阳的万有引力作用，则有（ ）
A两个行星的向心加速度之比为（
B两个行星运动的周期之比为
C两个行星的线速度之比是（
D两个行星的角速度之比是（
正确答案
解析
解：万有引力提供圆周运动的向心力，则有
A、向心加速度
B、周期T=
C、线速度
D、角速度
故选：AC．
正确答案
解析
解：A、在P点处，卫星在轨道1的速度小于轨道2上的速度，因此在轨道1的机械能小于在轨道2上运动时的机械能，故A错误；
B、卫星从Q到P，因引力做负功，则在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度，故B错误；
C、卫星在轨道2上时处于失重状态．故C错误．
D、根据牛顿第二定律和万有引力定律得：a=
本题选择错误的，故选：ABC．
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的第一宇宙速度．
正确答案
解：（1）物体落在斜面上：
（2）根据万有引力提供向心力得：mg=m
答：（1）该星球表面的重力加速度为
（2）该星球的第一宇宙速度为
解析
解：（1）物体落在斜面上：
（2）根据万有引力提供向心力得：mg=m
答：（1）该星球表面的重力加速度为
（2）该星球的第一宇宙速度为
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