- 万有引力与航天
- 共16469题
设地球半径为R，引力常量为G，地球质量为M，
（1）求地球第一宇宙速度v1；
（2）以地球第一宇宙速度绕地球做匀速圆周运动的卫星运动周期T1≈1.5h，求地球同步卫星离地高度；
（3）质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为Ep=-
正确答案
解：（1）近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有：
得：
（2）设同步卫星轨道半径为r，周期T=24h，根据开普勒第三定律，有：
得：r=
所以离地高度为：h=5.4R
（3）设物体在地球表面的速度为v2，当它脱离地球引力时r→∝，此时速度为零，引力势能为零，由机械能守恒定律得：
得：
所以有：
答：（1）地球第一宇宙速度v1为
（2）地球同步卫星离地高度为5.4R．
（3）证明如上所述．
解析
解：（1）近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有：
得：
（2）设同步卫星轨道半径为r，周期T=24h，根据开普勒第三定律，有：
得：r=
所以离地高度为：h=5.4R
（3）设物体在地球表面的速度为v2，当它脱离地球引力时r→∝，此时速度为零，引力势能为零，由机械能守恒定律得：
得：
所以有：
答：（1）地球第一宇宙速度v1为
（2）地球同步卫星离地高度为5.4R．
（3）证明如上所述．
牛顿为了论证地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，做了著名的“月-地”检验：若用m表示地球的质量，R表示地球半径，r表示月球到地心的距离，G表示引力常量，试证明，在地球引力作用下：
（1）地球表面上的物体的重力加速度g=
（2）月球的加速度a月=
（3）已知r=60R，利用（1）（2）求
（4）已知r=3.8×108m，月球绕地球运动的周期T=27.3d，计算月球绕地球运行的向心加速度a′月；
（5）已知海拔高度为零、纬度为0°处的重力加速度g=9.78m/s2，用（4）中算出的a′月求
正确答案
解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
即：G
（2）月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G
（3）已知：r=60R，
则：
（4）月球绕地球运行的向心加速度：
a′月=ω2r=
（5）向心加速度与重力加速度之比为：
答：（1）证明如上所述；（2）证明过程如上所述；
（3）已知r=60R，
（4）已知r=3.8×108m，月球绕地球运动的周期T=27.3d，月球绕地球运行的向心加速度a′月为0.00269m/s2；
（5）已知海拔高度为零、纬度为0°处的重力加速度g=9.78m/s2，
解析
解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，
即：G
（2）月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G
（3）已知：r=60R，
则：
（4）月球绕地球运行的向心加速度：
a′月=ω2r=
（5）向心加速度与重力加速度之比为：
答：（1）证明如上所述；（2）证明过程如上所述；
（3）已知r=60R，
（4）已知r=3.8×108m，月球绕地球运动的周期T=27.3d，月球绕地球运行的向心加速度a′月为0.00269m/s2；
（5）已知海拔高度为零、纬度为0°处的重力加速度g=9.78m/s2，
某星球半径为R，在该星球表面附近有一卫星，它绕星球的运转周期为T，万有引力恒量为G，则由此可以估算（ ）
正确答案
解析
解：AB、近地卫星绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供有：
C、在星球表面重力与万有引力相等，又卫星由万有引力提供向心力，据
D、因不知道该星球的自转周期，故无法求得同步卫星距地面的度，故D错误．
故选：AC．
2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一号”卫星成功撞击月球．“嫦娥一号”卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，15时36分，卫星启动发动机开始变轨，然后关闭发动机沿抛物线下落，16时13分10秒成功落在月球的丰富海区域．撞击产生了高达10km的尘埃层，设尘埃在空中时只受到月球的引力．模拟撞击实验显示，尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%；在卫星变轨过程中，航天飞行控制中心还测得，卫星在离月球表面高176km的圆轨道上运行的周期为T1=125min，在近月（高度不计）圆轨道上运行的周期T2=107.8min．计算时取
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g；
（2）空中尘埃层存在的时间．
正确答案
解：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，则有
G
G
由①、②得
解得R=1.7×106m ③
g=
（2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，因此由H=
t=2t下=2
答：
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g分别为1.7×106m和1.6m/s2；
（2）空中尘埃层存在的时间是2.2×102s．
解析
解：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，则有
G
G
由①、②得
解得R=1.7×106m ③
g=
（2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，因此由H=
t=2t下=2
答：
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g分别为1.7×106m和1.6m/s2；
（2）空中尘埃层存在的时间是2.2×102s．
“嫦娥三号”卫星在距月球100公里的圆形轨道上开展科学探测，其飞行的周期为118分钟，若已知月球半径和万有引力常量，由此可推算（ ）
正确答案
解析
解：A、轨道半径r=R+H，则卫星运行的线速度v=
B、由于嫦娥三号卫星是环绕天体，根据万有引力提供向心力只能求出中心天体的质量，所以无法求出嫦娥三号的质量．故B错误．
C、因为嫦娥三号的质量无法求出，所以无法得出月球对嫦娥三号的引力．故C错误．
D、根据
故选：AD．
假设火星和地球都是球体，火星的质量与地球的质量之比
正确答案
解：星球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据题意得：
则解得：
故答案为：
解析
解：星球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据题意得：
则解得：
故答案为：
已知引力常数G和下列各组数据，能计算出地球质量的是（ ）
正确答案
解析
解：A、地球绕太阳运动的周期和地球与太阳的距离，根据万有引力提供向心力：
B、月球绕地球做匀速圆周运动，它受到地球的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律得：
∴地球的质量M=
C、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它受到地球的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：
又因T=
∴地球的质量M=
D、地球表面的物体受到的地球的重力等于万有引力，即mg=
故选BCD．
1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上落下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步．在月球上，如果阿姆斯特朗以初速度V0将一个小球竖直上抛，经时间t 落回原处；而另一位宇航员驾驶一艘指令舱，在月球表面飞行一周，记下时间为T．求：
（1）月球表面的重力加速度
（2）月球的质量的表达式？
正确答案
解：（1）探月宇航员站在月球表面以初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，
由竖直上抛运动有：
得：
（2）根据万有引力提供向心力：
根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力，由牛顿第二定律有：
由①②解得：M=
答：（1）月球表面的重力加速度为
（2）月球的质量的表达式为
解析
解：（1）探月宇航员站在月球表面以初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，
由竖直上抛运动有：
得：
（2）根据万有引力提供向心力：
根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力，由牛顿第二定律有：
由①②解得：M=
答：（1）月球表面的重力加速度为
（2）月球的质量的表达式为
我国已于2004年启动“嫦娥绕月工程”，“嫦娥三号”将于2013年下半年择机发射．已知月球半径R，月球表面的重力加速度g．如果飞船关闭发动机后绕月做匀速圆周运动，距离月球表面的高度h，求飞船速度和周期．
正确答案
解：根据
解得：v=
T=
又GM=gR2，
解得：v=
答：飞船的速度为
解析
解：根据
解得：v=
T=
又GM=gR2，
解得：v=
答：飞船的速度为
（2016•江苏一模）2015年11月27日5时24分，我国在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭成功将遥感二十九号卫星发射升空，这颗卫星入轨后绕地球作半径为R、周期为T的圆周运动，引力常量为G，根据已知条件可得（ ）
正确答案
解析
解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动过程中，根据万有引力提供向心力得：
解得：M=
B、由于卫星质量公式两边约去，所以不能求出卫星的质量，故B错误；
C、向心加速度
D、卫星的运行速度v=
故选：ACD
已知地球半径为R，地面处重力加速度为g，地球自转的角速度为ω，则质量为m的地球同步卫星所受的向心力为______．
正确答案
解析
解：地球表面重力与万有引力相等有：
同步卫星由万有引力提供圆周运动向心力有：
可得同步卫星轨道半径r=
所以同步卫星所受向心力F=
故答案为：
科学家在双星系统中发现一黑洞的半径R约为45km，其质量M和半径R的关系满足
正确答案
解析
解：黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，
对黑洞表面的某一质量为m物体有：G
又有
联立解得g=
带入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2，故C正确，ABD错误．
故选：C．
正确答案
解析
解：A、根据开普勒第三定律得，
B、根据万有引力提供向心力
C、月球在远地点所受的万有引力小于在近地点的万有引力，根据牛顿第二定律得，在远地点的加速度小于在近地点的加速度．故C正确．
D、月球在椭圆轨道上运行，只有万有引力做功，机械能守恒．故D错误．
故选BC．
根据牛顿的万有引力定律，质点间的万有引力F=Gm1m2/R2，其中m1、m2为两质点的质量，R为两质点间的距离，则在国际单位制中，G的单位是______．
正确答案
N．m2/kg2
解析
解：万有引力定律F=G
故答案为：N．m2/kg2．
（1）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（2）飞船在A点处点火后瞬间与点火前相比，速度是变大还是变小？
（3）飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间．
正确答案
解：（1）设月球的质量为M，飞船的质量为m，飞船绕月运动速度为V，飞船绕月运动向心力为F，
解得：v=
（2）飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ是做逐渐靠近地心的运动，要实现这个运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞船减速，减小所需的向心力．
（3）设飞船在轨道Ⅲ绕飞船在轨道月球运行一周所需的时间为T，此时重力充当向心力
则mg0=m
T=2π
故飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
答：（1）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率是
（2）飞船在A点处点火后瞬间与点火前相比是变小．
（3）飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间是2π
解析
解：（1）设月球的质量为M，飞船的质量为m，飞船绕月运动速度为V，飞船绕月运动向心力为F，
解得：v=
（2）飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ是做逐渐靠近地心的运动，要实现这个运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞船减速，减小所需的向心力．
（3）设飞船在轨道Ⅲ绕飞船在轨道月球运行一周所需的时间为T，此时重力充当向心力
则mg0=m
T=2π
故飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
答：（1）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率是
（2）飞船在A点处点火后瞬间与点火前相比是变小．
（3）飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间是2π
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