- 万有引力与航天
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（2016春•平顶山月考）2015年7月美国宇航局发布最新消息，天文学家发现了迄今离地球最近的孪生星球-Kepler452b行星，其围绕一颗恒星-KepIer452转动，周期为368天．该行星直径约为地球的1.6倍，与恒星之间的距离与日地距离相近，某学生查阅资料地球的直径为1.28×104km，地球与太阳间的距离大约为1.5×108km，引力常量为G，天体的运动近似为圆周运动，根据以上信息，以下说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、根据万有引力充当向心力
C、天体上的最小发射速度等于第一宇宙速度V=
D、不知道卫星的轨道半径，根据万有引力充当向心力
故选：B．
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的第一宇宙速度v；
（3）该星球的密度．
正确答案
解：（1）物体落在斜面上有：
得：g=
（2）根据万有引力提供向心力得：
则第一宇宙速度为：v=
（3）根据万有引力等于重力为：
而V=
则密度为：ρ=
答：（1）该星球表面的重力加速度为
（2）该星球的第一宇宙速度为
（3）该星球的密度为
解析
解：（1）物体落在斜面上有：
得：g=
（2）根据万有引力提供向心力得：
则第一宇宙速度为：v=
（3）根据万有引力等于重力为：
而V=
则密度为：ρ=
答：（1）该星球表面的重力加速度为
（2）该星球的第一宇宙速度为
（3）该星球的密度为
利用万有引力定律、小孔成像原理和生活常识，就可以估算出太阳的平均密度．用长为L的不透光圆筒，在其一端封上厚纸，纸的中间用针扎一个直径为0.5mm的小孔．筒的另一端封上一张白纸，用有小孔的一端对准太阳，在另一端可看到太阳的像，若测得太阳像的直径为d，设地球环绕太阳的周期为T，已知万有引力常量为G，试估算太阳的平均密度ρ（要求用题给已知量的符号表示）．
正确答案
解：设太阳半径为R，质量为M，密度为ρ，地球与太阳之间的距离为r，由相似三角形关系得 
又地球绕太阳近似做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
联立①～④式，得
答：太阳的平均密度ρ约为
解析
解：设太阳半径为R，质量为M，密度为ρ，地球与太阳之间的距离为r，由相似三角形关系得
又地球绕太阳近似做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
联立①～④式，得
答：太阳的平均密度ρ约为
牛顿吸收了胡克等科学家“行星绕太阳做圆运动时受到的引力与行星到太阳距离的平方成反比”的猜想，运用牛顿运动定律证明了行星受到的引力F∝
A对行星绕太阳运动，根据F=m
B对行星绕太阳运动，根据F=M
C在计算月球的加速度时需要用到月球的半径
D在计算苹果的加速度时需要用到地球的自转周期
正确答案
解析
解：A、行星绕太阳运动，根据万有引力提供向心力得：
结合开普勒第三定律
C、在计算月球的加速度时需要用到的是地心到月球球心的距离，不是月球的半径，故C错误；
D、在计算苹果的加速度时不用地球的自转周期也可以，因为g=G
故选：A
A卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为
C卫星在停泊轨道运行的速度可能大于地球的第一宇宙速度
D卫星从停泊轨道调控进入地月转移轨道过程机械能守恒
正确答案
解析
解：A、人造地球卫星运动时，由万有引力充当向心力，即有：
则得卫星的线速度 v=
已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道半径之比为b，则得：卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B、卫星的周期T=2π
C、第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是圆轨道的最大运行速度．所以卫星在停泊轨道运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误．
D、卫星从发射后到进人工作轨道过程中，需要卫星的发动机点火，使卫星加速，通过外力克服引力做功，使卫星机械能增加才能达到目的．所以机械能不守恒，故D错误．
故选：B．
有一只飞船绕地球运行，其轨道为椭圆，近地点约300km，远地点约1700km，在远地点经过变轨变成1700km的圆形轨道．经过11天飞行，飞船调整姿态后开始返回，返回舱距地面100km时，以8000m/s的速度进入大气层，当时返回舱与大气层产生剧烈摩擦，外表形成一团火球，即进入黑障区域．返回舱距地面40km时，黑障消失，此时返回舱的速度已降至200m/s．现提供以下常数：g=10m/s2，地球半径R=6400km，G=6.67×10-11Nm2kg-2，地球质量M=6.0×1024kg．请求解下列问题：
（1）飞船在1700km圆轨道飞行时的速度v1及周期T1；
（2）飞船在椭圆轨道上飞行的周期T2；
（3）假设飞船加入黑障区域时沿直线运动，其加速度平均值为4g，试求飞船在黑障区域经过的路程及时间．
正确答案
解：（1）设飞船在近地轨道的速度为v0，
则根据万有引力提供向心力有：
因为
则
解得
飞船的周期
（2）由开普勒第三定律得，
解得
（3）根据速度位移公式得，
解得L=
运动的时间t=
答：（1）飞船在1700km圆轨道飞行时的速度为7.1km/s，周期为7153s．
（2）飞船在椭圆轨道上飞行的周期为6245s．
（3）飞船在黑障区域经过的路程为8×105m，运动的时间为195s．
解析
解：（1）设飞船在近地轨道的速度为v0，
则根据万有引力提供向心力有：
因为
则
解得
飞船的周期
（2）由开普勒第三定律得，
解得
（3）根据速度位移公式得，
解得L=
运动的时间t=
答：（1）飞船在1700km圆轨道飞行时的速度为7.1km/s，周期为7153s．
（2）飞船在椭圆轨道上飞行的周期为6245s．
（3）飞船在黑障区域经过的路程为8×105m，运动的时间为195s．
地球质量M1约是月球质量M2的81倍，在登月飞船通过月地之间，月亮和地球对它引力相等的位置时，飞船距月亮中心的距离r和距地球中心的距离R的比是（ ）
正确答案
解析
解：根据万有引力定律列出地球和月亮对飞船的引力等式：
F地=
由于月亮和地球对它引力相等，所以
解得：
所以得：r：R=1：9．
故选B．
“嫦娥一号”卫星是在绕月球的极地轨道上运动，能探测到整个月球表面的情况．已知卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时，距月球表面高为H1，绕行的周期为T1；月球绕地球公转的周期为T，半径为R；地球半径为R0，月球半径为R1，忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响．试解答下列问题：
（1）卫星绕月球运动时的速度大小；
（2）月球表面的重力加速度；
（3）月球与地球质量比．
正确答案
解：（1）卫星绕月球做匀速圆周运动，根据线速度与周期的关系得
（2）卫星绕月球做匀速圆周运动，月球对卫星的万有引力提供向心力
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力
联立解得：g月=
（3）月球绕地球公转时由地球对月球的万有引力提供向心力，故
同理探月卫星绕月有：
联立解得
答：（1）卫星绕月球运动时的速度大小为
（2）月球表面的重力加速度为
（3）月球与地球质量比为
解析
解：（1）卫星绕月球做匀速圆周运动，根据线速度与周期的关系得
（2）卫星绕月球做匀速圆周运动，月球对卫星的万有引力提供向心力
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力
联立解得：g月=
（3）月球绕地球公转时由地球对月球的万有引力提供向心力，故
同理探月卫星绕月有：
联立解得
答：（1）卫星绕月球运动时的速度大小为
（2）月球表面的重力加速度为
（3）月球与地球质量比为
已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，月球绕地球作匀速圆周运动的周期为T．求月球距地面的高度h．
正确答案
解：
解：根据万有引力定律，对地球表面的物体有：
对月球有：
联解①②③得：
答：月球离地面高度为
解析
解：
解：根据万有引力定律，对地球表面的物体有：
对月球有：
联解①②③得：
答：月球离地面高度为
我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据单摆周期公式列出等式：
T=2π
根据月球表面万有引力等于重力得：
由①②得：M=
所以密度ρ=
故选B．
我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分别将“嫦娥一号”和“嫦娥二号”成功发射，“嫦娥三号”亦有望在2013年落月探测90天，并已给落月点起了一个富有诗意的名字-“广寒宫”．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r．
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r月，引力常量为G，请求出月球的质量M月．
正确答案
解：（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
G
质量为m的物体在地球表面时：mg=G
由①②得：r 月=
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，
根据竖直上抛的运动规律有：
根据万有引力等于重力得：
由③④解得：M月=
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为
（2）月球的质量为
解析
解：（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
G
质量为m的物体在地球表面时：mg=G
由①②得：r 月=
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，
根据竖直上抛的运动规律有：
根据万有引力等于重力得：
由③④解得：M月=
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为
（2）月球的质量为
已知引力常量G和下列某组数据，不能计算出地球质量．这组数据是（ ）
正确答案
解析
解：A、根据
B、根据
C、根据线速度和周期，可以求出卫星的轨道半径r=
D、根据
本题选错误的，故选：A．
正确答案
解析
解：A、根据万有引力提供向心力：
B、根据万有引力提供向心力：
C、神州八号加速做离心运动，可能会与天宫一号发生对接．故C正确．
D、宇航员在“天宫一号”太空舱无初速释放小球，小球由于惯性和天宫一号具有相同的速度，万有引力等于需要的向心力，做圆周运动．故D错误．
故选AC．
教科版高中物理教材必修2中介绍，亚当斯通过对行星“天王星”的长期观察发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．亚当斯利用牛顿发现的万有引力定律对观察数据进行计算，认为形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知行星（后命名为海王星），它对天王星的万有引力引起其轨道的偏离．由于课本没有阐述其计算的原理，这极大的激发了树德中学天文爱好社团的同学的探索热情，通过集体研究，最终掌握了亚当斯当时的计算方法：设其（海王星）运动轨道与天王星在同一平面内，且与天王星的绕行方向相同，天王星的运行轨道半径为R，周期为T，并认为上述最大偏离间隔时间t就是两个行星相邻两次相距最近的时间间隔，并利用此三个物理量推导出了海王星绕太阳运行的圆轨道半径，则下述是海王星绕太阳运行的圆轨道半径表达式正确的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意可知：海王星与天王星相距最近时，对天王星的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离．
设海王星行星的周期为T0，圆轨道半径为R0，则有：
解得：T0=
据开普勒第三定律：
得：R0=
故C正确，ABD错误．
故选：C
有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，万有引力常量为G，探测卫星绕地球运动的周期为T．求：
（1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径；
（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小．
正确答案
解：（1）设卫星质量为m，卫星绕地球运动的轨道半径为r，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
解得：r=
（2）设探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为v，星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小与半径的关系为：
v=
即为：v=
答：（1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径是
（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小是
解析
解：（1）设卫星质量为m，卫星绕地球运动的轨道半径为r，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
解得：r=
（2）设探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为v，星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小与半径的关系为：
v=
即为：v=
答：（1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径是
（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小是
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