- 万有引力与航天
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宇航员站在一个星球表面，将一小球从离地面高为h处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移为x，若该行星的半径为R，万有引力常量为G．求该星球的质量M．
正确答案
解：对于小球平抛运动过程，有：
x=v0t
解得：
由星球表面重力等于万有引力，则有
解得：
答：该星球的质量M为
解析
解：对于小球平抛运动过程，有：
x=v0t
解得：
由星球表面重力等于万有引力，则有
解得：
答：该星球的质量M为
（1）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．（取地球表面重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计），已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：4，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地．
（2）固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力F作用下向上运动，推力F与小环速度v随时间变化规律如图所示，取重力加速度g=10m/s2．求：细杆与地面间的倾角α．
正确答案
解：（1）竖直上抛的小球运动时间 t=
根据mg=G
可解得：M星：M地=1×12：5×42=1：80，
（2）由图得：0-2s内小环的加速度 a=
前2s有：F2-mg sinα=ma，
2s后有：F2=mg sinα，
代入数据可解得：m=1kg，α=30°．
答：
（1）该星球的质量与地球质量之比M星：M地为1：80．
（2）细杆与地面间的倾角α为30°．
解析
解：（1）竖直上抛的小球运动时间 t=
根据mg=G
可解得：M星：M地=1×12：5×42=1：80，
（2）由图得：0-2s内小环的加速度 a=
前2s有：F2-mg sinα=ma，
2s后有：F2=mg sinα，
代入数据可解得：m=1kg，α=30°．
答：
（1）该星球的质量与地球质量之比M星：M地为1：80．
（2）细杆与地面间的倾角α为30°．
“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T，则月球的平均密度ρ的表达式为（ ）（k为某个常数）
Aρ=
Bρ=kT
Cρ=
Dρ=kT2
正确答案
解析
解：设月球质量为M，半径为R，卫星的质量为m，周期为T，
月球给卫星的万有引力充当卫星运动的向心力，即：
而ρ=
联立解得：ρ=
故选A．
有质量的物体周围存在着引力场，万有引力和库仑力有类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强．由此可得，与质量为M的质点相距r处的引力场场强的表达式为（ ）（万有引力恒量用G表示）
AEG=
BEG=
CEG=
DEG=
正确答案
解析
解：我们在质量为M的质点相距r处放入一个检验质点，其质量为m，则其受到的万有引力F=G
故选：D．
为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g地球绕太阳公转的周期为T．则太阳的质量为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：
根据地球表面的万有引力等于重力得：
对地球表面物体m′有
两式联立得M=
故选D．
2015年3月6日，英国《每日邮报》称，英国学者通过研究确认“超级地球”“格利泽581d”存在，据观测，“格利泽581d”的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的
A“格利泽581d”表面的重力加速度为
B“格利泽581d”表面的重力加速度为
C“格利泽581d”的第一宇宙速度为
D“格利泽581d”的第一宇宙速度为
正确答案
解析
解：A、忽略格利泽自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：
mg=
则有：g=
格利泽581d的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的
所以格利泽与地球表面的重力加速度之比是
因此格利泽表面的重力加速度g，故AB错误；
C、根据万有引力提供向心力得
解得：v=
格利泽581d的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的
解得：格利泽581d与地球第一宇宙速度之比是
则格利泽的第一宇宙速度v′=
故选：D
天文工作者观测到某行星的半径为r0，自转周期为T0，它有一颗卫星，轨道半径为r，绕行星公转周期为T．
求：
（1）该行星表面的重力加速度g为多大？
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该同步卫星离地表的高度h为多大？
正确答案
解：（1）设行星质量是M，卫星质量是m，
对卫星环，由牛顿第二定律得：
设行星表面上一物体质量为m′，
则对该物体有：
联立①②得，
（2）设同步卫星距地面的高度是h，
对同步卫星，由牛顿第二定律可得：
联立①④（或②③④）解得：
答：（1）该行星表面的重力加速度g=
（2）该同步卫星离地表的高度h为
解析
解：（1）设行星质量是M，卫星质量是m，
对卫星环，由牛顿第二定律得：
设行星表面上一物体质量为m′，
则对该物体有：
联立①②得，
（2）设同步卫星距地面的高度是h，
对同步卫星，由牛顿第二定律可得：
联立①④（或②③④）解得：
答：（1）该行星表面的重力加速度g=
（2）该同步卫星离地表的高度h为
已知万有引力常量G，地球半径R1，地球和太阳之间的距离r1，地球绕太阳公转的周期T1，月球半径R2，地球和月亮之间的距离r2，月球绕地球公转的周期T2，地球表面的重力加速度g．请根据已知条件用二种估算方法地球的质量M．
正确答案
解：根据万有引力等于重力得，
解得M=
月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得，
解得M=
答：地球的质量为M=
解析
解：根据万有引力等于重力得，
解得M=
月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得，
解得M=
答：地球的质量为M=
第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题．它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星组成的卫星群构成，中轨道卫星离地面的高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上（与赤道平面均有一定的夹角）．若地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星的轨道处受地球引力产生的重力加速度约为（ ）
A
B4g
C
D9g
正确答案
解析
解：由题意可知中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，则中轨道卫星的轨道半径为3R，
在地球表面有：G
对中轨道卫星有：G
解得：a=
故选：C．
甲、乙两天体的质量之比为l：80，它们围绕二者连线上的某点O做匀速圆周运动．据此可知甲、乙绕O点运动的线速度大小之比为______．
正确答案
80：1
解析
解：设甲的质量为m，乙的质量为M．甲乙绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲乙的向心力相等．
且甲乙和O始终共线，说明甲乙有相同的角速度和周期．因此有：
mω2r=Mω2R
又由于
v=ωr
所以：
故答案为：80：1．
某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T，已知引力常量为G，根据这些数据可以估算出（ ）
正确答案
解析
解：A、研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
由于卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T，所以R为行星的半径．
M=
B、研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
由于卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T，所以R为行星的半径．
R=
C、根据A选项分析知道：M=
D、根据万有引力等于重力得：
g=
故选C．
（2016•兰州模拟）北京时间2016年2月11日23：40左右，激光干涉引力波天文台（LIGO）负责人宣布，人类首次发现了引力波．他来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故A正确；
BD、根据牛顿第二定律，有：
其中：r1+r2=L
故
故
故质量大的黑洞转动半径小，线速度小，故B错误，D错误；
C、两个黑洞间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
故两个黑洞的向心加速度不等，故C错误；
故选：A．
月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，则地球的质量为______，若地球的半径为R，则地球的密度为______．
正确答案
解析
解：设M为地球质量，m为月球质量由万有引力提供向心力：
G
地球体积为：V=
地球的密度：ρ=
故答案为：
两个质量相等的质点相距r，它们之间的万有引力为F，若它们的质量都加倍，距离也加倍，则它们之间的作用力为（ ）
A4F
BF
C
D2F
正确答案
解析
解：根据万有引力定律公式F=
故B正确，A、C、D错误．
故选：B．
A
Bma
C
Dm（R+h）ω2
正确答案
解析
解：设卫星在月球表面对月球的万有引力即重力为F1，在远月点时对月球的万有引力为F；
A、据万有引力公式得 在远月点时对月球的万有引力为
B、据力与运动的关系得 在远月点时卫星所受合力即万有引力 F=ma； 故B正确；
C、据万有引力公式得 在月球表面时卫星所受重力即二者万有引力 
在远月点时卫星对月球的万有引力 
把①代入②可得 
D、此公式适用于匀速圆周运动，而卫星在绕月椭圆运动时速度变化不均匀，不适用．
此题选择正确项，故选 BC．
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