万有引力与航天_章节学习

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题型：简答题

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简答题

航天员在月球上做自由落体实验，将某物体由距离月球表面高h处由静止释放，经时间t落到月球表面，已知月球半径为R，万有引力常量为G．试求：

（1）月球表面处重力加速度g的大小；

（2）月球的质量

（3）飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度大小．

正确答案

解：（1）由自由落体运动的规律可知：

解得月球表面重力加速度：①

（2）在月球表面，万有引力与重力相等

②

由①②得：月球的质量③

（3）万有引力提供向心力，即④

由③④解得：

答：（1）月球表面处重力加速度g的大小；

（2）月球的质量

（3）飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度大小

解析

解：（1）由自由落体运动的规律可知：

解得月球表面重力加速度：①

（2）在月球表面，万有引力与重力相等

②

由①②得：月球的质量③

（3）万有引力提供向心力，即④

由③④解得：

答：（1）月球表面处重力加速度g的大小；

（2）月球的质量

（3）飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度大小

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题型：简答题

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简答题

有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M=20m，地球半径R1=6400km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

正确答案

解：位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见下图），

它受到地球的引力可以表示为

，（1）

式中M′是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以ρ表示地球的密度，此质量可以表示为

（2）

于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为

（3）

作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为

f=Fsinθ （4）

（5）

θ为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中

点C的距离，力的方向指向通道的中点C．在地面上物体的重力可以表示为

（6）

式中M0是地球的质量．由上式可以得到

（7）

由以上各式可以求得

（8）

可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为

（9）

物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为．

取x=0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x=0处的速度为v0，

则根据能量守恒，有

（10）

式中h表示地心到通道的距离．解以上有关各式，得

（11）

可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关．

设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞．碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有

Mv0-mv0=MV+mv，（12）

（13）

解式（12）和式（13），得

（14）

质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有

（15）

由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得

（16）

u的方向沿着通道．根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有

（17）

由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到

（18）

已知M=20m，则得

h=0.925R0=5920km （19）

答：地心到该通道的距离为5920km．

解析

解：位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见下图），

它受到地球的引力可以表示为

，（1）

式中M′是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以ρ表示地球的密度，此质量可以表示为

（2）

于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为

（3）

作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为

f=Fsinθ （4）

（5）

θ为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中

点C的距离，力的方向指向通道的中点C．在地面上物体的重力可以表示为

（6）

式中M0是地球的质量．由上式可以得到

（7）

由以上各式可以求得

（8）

可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为

（9）

物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为．

取x=0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x=0处的速度为v0，

则根据能量守恒，有

（10）

式中h表示地心到通道的距离．解以上有关各式，得

（11）

可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关．

设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞．碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有

Mv0-mv0=MV+mv，（12）

（13）

解式（12）和式（13），得

（14）

质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有

（15）

由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得

（16）

u的方向沿着通道．根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有

（17）

由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到

（18）

已知M=20m，则得

h=0.925R0=5920km （19）

答：地心到该通道的距离为5920km．

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题型：简答题

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简答题

已知地球的质量为5.89×1024kg，太阳的质量为2.0×1030kg，地球绕太阳公转的轨道半径为1.5×1011m，G=6.67×10-11N•m/kg2，求：

（1）太阳对地球的引力大小；

（2）地球绕太阳运转的向心加速度．

正确答案

解：（1）地球的质量为6.0×1024kg，太阳的质量为2.0×1030kg，轨道半径为1.5×1011m，故太阳对地球的引力大小为：

F=G=6.67×10-11×=3.6×1022N

（2）根据牛顿第二定律，地球绕太阳运转的向心加速度：

a===6.0×10-3m/s2

答：（1）太阳对地球的引力大小为3.6×1022N；

（2）地球绕太阳运转的向心加速度为6.0×10-3m/s2．

解析

解：（1）地球的质量为6.0×1024kg，太阳的质量为2.0×1030kg，轨道半径为1.5×1011m，故太阳对地球的引力大小为：

F=G=6.67×10-11×=3.6×1022N

（2）根据牛顿第二定律，地球绕太阳运转的向心加速度：

a===6.0×10-3m/s2

答：（1）太阳对地球的引力大小为3.6×1022N；

（2）地球绕太阳运转的向心加速度为6.0×10-3m/s2．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面斜坡上，从P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：

（1）该星球表面的重力加速度g；

（2）该星球的质量M．

正确答案

解：（1）由平抛运动的知识得：tan α=

则有：g=

（2）对星球表面物体有：G=mg，

得：M=

答：（1）该星球表面的重力加速度g为；

（2）该星球的质量M为．

解析

解：（1）由平抛运动的知识得：tan α=

则有：g=

（2）对星球表面物体有：G=mg，

得：M=

答：（1）该星球表面的重力加速度g为；

（2）该星球的质量M为．

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题型：简答题

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简答题

两个体重为100kg的同学，当他们相距1m时，他们之间的万有引力是多大？（G=6.67×10-11N•m2/kg2）

正确答案

解：根据万有引力定律F=G

代入数据计算F==6.67×10-7N

答：他们之间的万有引力是6.67×10-7N

解析

解：根据万有引力定律F=G

代入数据计算F==6.67×10-7N

答：他们之间的万有引力是6.67×10-7N

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题型：简答题

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简答题

天文学家通过对某颗行星进行观测，发现有一颗卫星环绕它做匀速圆周运动，其轨道半径为R，周期为T，已知引力常量为G，求：

（1）卫星做匀速圆周的向心加速度a的大小；

（2）该行星的质量为M．

正确答案

解：（1）由题意，卫星环绕行星做匀速圆周运动，则向心加速度为a=．

（2）设卫星的质量为m，则根据牛顿第二定律得：

G=m

解得，M=

答：（1）卫星做匀速圆周的向心加速度a的大小为；

（2）该行星的质量M为．

解析

解：（1）由题意，卫星环绕行星做匀速圆周运动，则向心加速度为a=．

（2）设卫星的质量为m，则根据牛顿第二定律得：

G=m

解得，M=

答：（1）卫星做匀速圆周的向心加速度a的大小为；

（2）该行星的质量M为．

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题型：简答题

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简答题

两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运动的轨道半径为R1和R2、若m1=2m2、R1=4R2，则它们的周期之比T1：T2是多少？

正确答案

解：根据开普勒第三定律=k得：它们的周期之比为．

答：它们的周期之比T1：T2是8：1．

解析

解：根据开普勒第三定律=k得：它们的周期之比为．

答：它们的周期之比T1：T2是8：1．

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题型：单选题

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单选题

设字宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R．字航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧侧力计的读数为F1=F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2=．③假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4．已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（　　）

A F4=

B F4=0

CF3= F4=0

DF3=4F0 F4=

正确答案

B

解析

解：设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力：=F0

由于球体的体积公式为：V=

由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2=．则：

所以半径以内的部分的质量为：=

物体在处受到的万有引力：=

物体需要的向心力：

所以在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为：F3=

第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0．

故选：B

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题型：单选题

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单选题

有一星球的质量与地球的质量相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，忽略自转，则该星球的密度是地球密度的（　　）

A

B8倍

C16倍

D64倍

正确答案

B

解析

解：在行星表面上，根据万有引力等于重力得：

G=mg

可得行星的质量 M=

由题，星球的质量与地球的质量相同，表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，可得星球的半径是地球的倍．

则该行星的密度 ρ==

可得该星球的密度是地球密度的8倍．故B正确．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•嘉兴期末）2015年7月美国宇航局（NASA）发布最新消息称，天文学家发响了迄今最接近地球的“孪生星球”-行星Kepler452b，其围绕一颗恒星KepIer452转动，周期为368天．与恒星之间的距离大约为1.5×108km，引力常量为G=6.67×10-11kg•m/s2，天体的运动近似为圆周运动，根据以上信息，以下说法正确的是（　　）

A可求出该行星的质量

B可求出该行星绕恒星运行的线速度

C可求出该行星与恒星之间的万有引力

D可求出该行星绕恒星运行所需的向心力

正确答案

B

解析

解：A、根据万有引力充当向心力=只能求出中心天体的质量，由题意不能求出该行星的质量，故A错误；

B、由周期与线速度的关系可知，v=，所以由r和周期T可求出该行星绕恒星运行的线速度．故B正确；

C、天体受到的万有引力：F=，由于不能求出行星的质量，所以不能求出该行星与恒星之间的万有引力．故C错误

D、该行星绕恒星运行所需的向心力：F=，由于不能求出行星的质量，所以不能求出该行星绕恒星运行所需的向心力．故D错误．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：

（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径．

（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面时距离抛出点的水平距离为s，已知月球半径为R1，万有引力常量为G．试求出月球的质量M．

正确答案

解：（1）万有引力提供月球做圆周运动的向心力，则 ①

地面上物体的重力等于万有引力，即 ②

由①②得，r=． ③

（2）小球做平抛运动，则h= ④

s=v0t ⑤

月球表面物体的重力等于万有引力，即mg=．⑥

联立解得M=．

答：（1）月球绕地球运动的轨道半径r=．

（2）月球的质量M=．

解析

解：（1）万有引力提供月球做圆周运动的向心力，则 ①

地面上物体的重力等于万有引力，即 ②

由①②得，r=． ③

（2）小球做平抛运动，则h= ④

s=v0t ⑤

月球表面物体的重力等于万有引力，即mg=．⑥

联立解得M=．

答：（1）月球绕地球运动的轨道半径r=．

（2）月球的质量M=．

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题型：单选题

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单选题

（2016•河南一模）2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调到海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持．特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术．如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图．“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动．卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．则以下说法正确的是（　　）

A卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等均为g

B卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为

C如果调动卫星“G1”快速追上卫星“G3”，必须对其加速

D若“高分一号”所在高度处有稀薄气体，则运行一段时间后，机械能会增大

正确答案

B

解析

解：A、根据万有引力提供向心力，得 G=ma，得a=．而GM=gR2．所以卫星的加速度a=．故A错误．

B、根据万有引力提供向心力，得G=mω2r，得ω==．所以卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间 t==．故B正确．

C、“高分一号”G1卫星加速，将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其减速，故C错误．

D、“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，克服阻力做功，机械能减小．故D错误．

故选：B

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题型：单选题

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单选题

宇航员站在星球表面上某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t小球落回星球表面，测得抛出点和落地点之间的距离为L．若抛出时的速度增大为原来的2倍，则抛出点到落地点之间的距离为．已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为R，求该星球的质量是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设从高为h处，第一次初速度为v：则 ---------①

第二次初速度为2v：则 ----②

又重力=万有引力 --------------------③

由①②③式可得 M=

则选项B正确，ACD错误

故选：B

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题型：单选题

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单选题

（2016•邯郸一模）据天文学观测，某行星在距离其表面高度等于该行星半径3倍处有一颗同步卫星，已知该行星质量是地球质量的，行星半径是地球半径的，地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星周期为T1，该行星的自转周期为T2，则T1：T2为（　　）

A1：4

B2：3

C2：1

D1：8

正确答案

A

解析

解：卫星的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：

解得：T=2π∝

故====

故选：A

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题型：多选题

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多选题

已知月球只有确定的一面朝向地球，而另一面从未被人类从地球上直接看到，据此分析，正确的是（　　）

A月球只有围绕地球的公转，月球没有自转

B月球绕地球公转的周期与月球自转周期与相等

C月球的同步卫星轨道与月球绕地球公转的平面垂直

D若已知月球公转周期、月球质量、万有引力常量，则可求得月球同步卫星的轨道半径

正确答案

B,D

解析

解：AB：假如你站在地球的北极轴上面，从“上面”俯视地球和月球平面图形，那么月球是逆时针在绕地球转动，而月球本身的自转，却是顺时针在转动，一个正和一个逆，月球绕地球公转的周期与月球自转周期与相等，正好抵消，导致的结果就是地球上无论如何观察不到月球的背面．A选项还可以这样解释：由于潮汐的长期作用，月球自转周期与绕地球公转周期恰好相同，这使得月球总是以相同的一面对着我们．在地球上最多能看到50%的月球面积．两种解释本质相同．故A错误，B正确．

C：地球自转轴也就是地轴，地轴与黄道平面是垂直的，月球自转轴则与黄道面（地球的公转轨道平面）的法线成1.5424°的夹角，也就是说月球的同步卫星轨道与月球绕地球公转的平面接近平行．故C错误．

D：若已知月球公转周期、月球质量、万有引力常量，则可求得月球同步卫星的轨道半径．故D正确．

故选BD

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