- 万有引力与航天
- 共16469题
两个质量相等且材质均匀的实心球体，球心相距r时，它们之间的引力为F，若它们的质量都加倍，球心间的距离也加倍，则它们之间的引力为______．
正确答案
F
解析
解：设两个物体的质量分别为m1，m2；
未变时：G
变化后：G
由①②可知，它们之间的吸引力仍为F
故答案为：F．
正确答案
解：物体落在斜面上有：
所以g=
根据万有引力等于重力
解得星球的质量M=
而V=
则密度
根据万有引力提供向心力得，
则v=
答：该星球的密度为
解析
解：物体落在斜面上有：
所以g=
根据万有引力等于重力
解得星球的质量M=
而V=
则密度
根据万有引力提供向心力得，
则v=
答：该星球的密度为
1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋．“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章．
“和平号”空间站总质量137t，工作容积超过400m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称．在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次．“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350km．为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制．在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240km．在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km．
设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行．而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理．
（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的；
（2）空间站沿着正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值为多大？计算结果保留2位有效数字；
（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R=6.4×103km，计算结果保留1位有效数字．
正确答案
解：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，根据动能定理，空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的．
（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行，万有引力是空间站运行时的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G
空间站运行时向心加速度是a=
r1=R+h1=6.75×103km；
r2=R+h2=6.64×103km；
加速度大小的比值是 
（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G
不计地球自转的影响，根据G
则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为：
T=2π
一昼夜的时间为t=24h，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为：
n=
空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小：
△h=
答：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，根据动能定理，空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的．
（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值为0.97．
（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化约为2×10-1km．
解析
解：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，根据动能定理，空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的．
（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行，万有引力是空间站运行时的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G
空间站运行时向心加速度是a=
r1=R+h1=6.75×103km；
r2=R+h2=6.64×103km；
加速度大小的比值是
（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G
不计地球自转的影响，根据G
则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为：
T=2π
一昼夜的时间为t=24h，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为：
n=
空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小：
△h=
答：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，根据动能定理，空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的．
（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值为0.97．
（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化约为2×10-1km．
国际天文台施密特特CCD小行星项目组于1998年10月15日发现一颗小行星，国际永久编号为25240.2003年10月17日，在我国核物理学家钱三强诞辰90周年之际，经国际天文学联合会小天体提名委员会批准，中国科学院国家天文台将该小行星命名为“钱三强星”．己知测小行星绕日运行的周期为T=4.66年，求它的环绕半径r的大小．（已知日地距离为R=1.5×1011m，结果保留-位有效数字）
正确答案
解：设太阳的质量为M，小行星的质量为m，地球的质量为m0，公转周期T0=1年
根据万有引力提供向心力，则有
G
G
由上两式得
所以r=R
答：它的环绕半径r的大小是4×1011m．
解析
解：设太阳的质量为M，小行星的质量为m，地球的质量为m0，公转周期T0=1年
根据万有引力提供向心力，则有
G
G
由上两式得
所以r=R
答：它的环绕半径r的大小是4×1011m．
A卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为
C卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道，卫星必须加速
正确答案
解析
解：A、B根据万有引力提供向心力得：G
v=
则得：卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比
C、由卫星的速度公式v=
D、卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道，卫星必须加速做离心运动，才能实现．故D正确．
故选AD
利用航天飞机，人们可以到太空维修出现故障的人造地球卫星．已知一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行．当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了6.4km/s．取地球半径为R=6400km，地球表面的重力加速度为g=9.8m/s2，试求这颗卫星离地面的高度．（结果保留2位有效数字）
正确答案
解：设地球质量M，地球半径R，卫星距离地面高度h，卫星质量m，当航天飞机接近这颗卫星并与他运行情况基本相同时，速度达到了v=6.4km/s，说明卫星的运行速度也是v=6.4km/s，卫星在天上时，由万有引力提供向心力，所以：
转换公式可得：
另设地球表面上有一物体，质量为m1，那么它在地球表面受到的万有引力就是其重力所以，
转换公式可得：GM=R2g ②
将②代入①得到：
将已知数据代入，得到：h=3400km
故这颗卫星离地面的高度为3400km
解析
解：设地球质量M，地球半径R，卫星距离地面高度h，卫星质量m，当航天飞机接近这颗卫星并与他运行情况基本相同时，速度达到了v=6.4km/s，说明卫星的运行速度也是v=6.4km/s，卫星在天上时，由万有引力提供向心力，所以：
转换公式可得：
另设地球表面上有一物体，质量为m1，那么它在地球表面受到的万有引力就是其重力所以，
转换公式可得：GM=R2g ②
将②代入①得到：
将已知数据代入，得到：h=3400km
故这颗卫星离地面的高度为3400km
质量为100kg的“勇气”号火星车于2004年成功登陆在火星表面．若“勇气”号在离火星表面12m时与降落伞自动脱离，此时“勇气”号的速度为4
（1）“勇气”号第一次碰撞火星地面前的速度v1；
（2）“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力F．
正确答案
解：（1）设火星表面的重力加速度为g‘，地球表面的重力加速度为g
由万有引力定律有：
可得：
故：
设探测器落地的速度为v1，则有：
代入数据，解得：v1=16m/s
（2）反弹后，机械能守恒，有
解得v2=12m/s
设“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力为F，
由动量定理得：
（F-mg′）t=m[v2-（-v1）]
代入数据，解得：N=4400N
答：（1）“勇气”号第一次碰撞火星地面前的速度为16m/s；
（2）“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力为4400N．
解析
解：（1）设火星表面的重力加速度为g‘，地球表面的重力加速度为g
由万有引力定律有：
可得：
故：
设探测器落地的速度为v1，则有：
代入数据，解得：v1=16m/s
（2）反弹后，机械能守恒，有
解得v2=12m/s
设“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力为F，
由动量定理得：
（F-mg′）t=m[v2-（-v1）]
代入数据，解得：N=4400N
答：（1）“勇气”号第一次碰撞火星地面前的速度为16m/s；
（2）“勇气”号和气囊第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力为4400N．
现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G．求：
（1）试计算该双星系统的运动周期T．
（2）若实验上观测到运动周期为T’，且
正确答案
解：（1）由万有引力提供向心力有：
解得
（2）设暗物的密度为ρ，质量为m，则
再由万有引力提供向心力有：
由
又
ρ=
答：
（1）该双星系统的运动周期
（2）该星系间这种暗物质的密度为ρ=
解析
解：（1）由万有引力提供向心力有：
解得
（2）设暗物的密度为ρ，质量为m，则
再由万有引力提供向心力有：
由
又
ρ=
答：
（1）该双星系统的运动周期
（2）该星系间这种暗物质的密度为ρ=
探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较大的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比较，则下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、探测器绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G
B、探测器绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G
C、探测器绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G
D、角速度：ω=
故选：BD．
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化．卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．
正确答案
解：
如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点．根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在BE弧运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
G
G
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期．
得 
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，
令∠CO′A=α，∠CO′B=β；则
由几何关系得rcosα=R-R1
r1cosβ=R1
得 t=
答：在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间为得t=
解析
解：
如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点．根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在BE弧运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
G
G
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期．
得
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，
令∠CO′A=α，∠CO′B=β；则
由几何关系得rcosα=R-R1
r1cosβ=R1
得 t=
答：在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间为得t=
天体的质量大都是“天文数字”，是无法进行称量的．但是物理学家依据物理规律，用一支笔、一张纸就可以计算出遥远而巨大的天体质量，你不觉得物理很神奇吗？现在给出以下数据：
请你在以上所给的已知数据中，任意选择合适的数据，建立恰当的物理模型，用你手中的笔和纸，计算出地球的质量，写出地球质量的表达式．
要求至少写出两种方法．
正确答案
解：方法一：利用地球半径R和地球表面的重力加速度g计算．设地球质量为M，不考虑地球自转时，地面上物体所受重力就是万有引力：
方法二：利用第一宇宙速度v和地球的半径R计算．人造地球卫星环绕地球表面运行时，轨道半径是R，向心力是万有引力：
方法三：利用绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星计算．卫星到地球表面的高度为h1，运行周期为T1；人造地球卫星绕地球运行时，向心力是万有引力：
方法四：利用地球同步卫星．同步卫星距离地面的高度为H，运行周期与地球的自转周期T0相同，同步卫星绕地球做圆周运动向心力是万有引力：
方法五：利用月球计算．月球到地面的距离h2，月球的公转周期T2；月球绕地球做圆周运动向心力是万有引力：
答：方法如上．
解析
解：方法一：利用地球半径R和地球表面的重力加速度g计算．设地球质量为M，不考虑地球自转时，地面上物体所受重力就是万有引力：
方法二：利用第一宇宙速度v和地球的半径R计算．人造地球卫星环绕地球表面运行时，轨道半径是R，向心力是万有引力：
方法三：利用绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星计算．卫星到地球表面的高度为h1，运行周期为T1；人造地球卫星绕地球运行时，向心力是万有引力：
方法四：利用地球同步卫星．同步卫星距离地面的高度为H，运行周期与地球的自转周期T0相同，同步卫星绕地球做圆周运动向心力是万有引力：
方法五：利用月球计算．月球到地面的距离h2，月球的公转周期T2；月球绕地球做圆周运动向心力是万有引力：
答：方法如上．
已知太阳光从太阳射到地球需要500s，地球绕太阳的公转周期约为3.2×107 s，地球的质量约为6×1024kg．求太阳对地球的引力为多大？（答案只需保留一位有效数字）
正确答案
解：太阳到地球的距离s=ct=3×108×500m=1.5×1011m
则地球公转半径R约为1.5×1011m．
对于地球：地球绕太阳圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
太阳对地球的引力F=m
答：太阳对地球的引力为3×1022N．
解析
解：太阳到地球的距离s=ct=3×108×500m=1.5×1011m
则地球公转半径R约为1.5×1011m．
对于地球：地球绕太阳圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
太阳对地球的引力F=m
答：太阳对地球的引力为3×1022N．
A组合体围绕地球做圆周运动的线速度大v=
B组合体围绕地球做圆周运动的角速度大小ω=
C组合体围绕地球做圆周运动的运行周期T′=
D组合体所在轨道处的重力加速度g′=
正确答案
解析
解：A、组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，其周期不等于同步卫星的周期，即组合体的周期T′≠T，故组合体的线速度大小v≠
B、地面物体的重力等于万有引力列式，故：
mg=G
组合体，绕着地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故：
联立解得：
ω=
故B错误；
C、组合体围绕地球做圆周运动的运行周期T′=
D、组合体所在轨道处的重力加速度g′=（R+h）ω2=
故选：C．
假设首批探险者到达火星后，将一个重物从距地面附近高为h的位置释放，物体经过时间t落到地面．已知火星的半径为R，万有引力常量为G，不计大气阻力，根据以上条件可以求出（ ）
正确答案
解析
解：根据自由落体运动的规律h=
B、根据
C、设火星近地卫星的发射速度为v，根据万有引力提供向心力得：
m
解得：v=
D、由于不知道火星的自转周期，所以无法求解火星上同步卫星的高度，故D错误．
故选：ABC
一名宇航员在登陆某星球后为了测量此星球的质量进行了如下实验：他把一小钢球托举到距星球表面高度为h处由静止释放，计时仪器测得小钢球从释放到落回星球表面的时间为t．此前通过天文观测测得此星球的半径为R，已知万有引力常量为G，不计小钢球下落过程中的气体阻力，可认为此星球表面的物体受到的重力等于物体与星球之间的万有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度g；
（2）此星球的质量M；
（3）若距此星球表面高H的圆形轨道有一颗卫星绕它做匀速圆周运动，求卫星的运行周期T．
正确答案
解：（1）由h=
（2）根据
解得M=
（3）根据万有引力提供向心力得，
又GM=gR2
解得
因为g=
所以T=
答：（1）此星球表面的重力加速度g=
（2）此星球的质量为
（3）卫星的运行周期为
解析
解：（1）由h=
（2）根据
解得M=
（3）根据万有引力提供向心力得，
又GM=gR2
解得
因为g=
所以T=
答：（1）此星球表面的重力加速度g=
（2）此星球的质量为
（3）卫星的运行周期为
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