- 万有引力与航天
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（2015秋•西城区期末）宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v0水平抛出，水平射程为x．已知月球的半径为R，万有引力常量为G．不考虑月球自转的影响．求：
（1）月球表面的重力加速度大小g0；
（2）月球的质量M；
（3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v．
正确答案
解：（1）设飞船质量为m，设小球落地时间为t，根据平抛运动规律
水平方向：x=v0t
竖直方向：h=
解得：
（2）在月球表面忽略地球自转时有：
解得月球质量：
（3）由万有引力定律和牛顿第二定律：
解得：v=
答：（1）月球表面的重力加速度大小为
（2）月球的质量M为
（3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v为
解析
解：（1）设飞船质量为m，设小球落地时间为t，根据平抛运动规律
水平方向：x=v0t
竖直方向：h=
解得：
（2）在月球表面忽略地球自转时有：
解得月球质量：
（3）由万有引力定律和牛顿第二定律：
解得：v=
答：（1）月球表面的重力加速度大小为
（2）月球的质量M为
（3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v为
中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只；B．弹簧秤一把；C．已知质量为m的物体一个；D．天平一只（附砝码一盒）．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量所得的物理量可出推导出月球的半径和质量．（已知万有引力常量为G）
（1）机器人进行第二次测量的内容是什么？
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
正确答案
解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转有
对飞船靠近月球表面做圆周运动有
又
由以上各式可得：
月球的半径
月球的质量
答：（1）机器人进行第二次测量的内容是测量物体在月球上所受的重力．
（2）月球的半径为
月球的质量为
解析
解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转有
对飞船靠近月球表面做圆周运动有
又
由以上各式可得：
月球的半径
月球的质量
答：（1）机器人进行第二次测量的内容是测量物体在月球上所受的重力．
（2）月球的半径为
月球的质量为
质量为m的卫星围绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径是地球半径的2倍．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则卫星的速度大小为______．
正确答案
解析
解：卫星做匀速圆周运动：G
设地表面有一物体m0，则有：G
联立①②解得v=
故答案为：
（1）双星旋转的中心O到m1的距离；
（2）双星的转动角速度．
正确答案
解：（1）设m1到中心O的距离为x，双星的周期相同，由万有引力充当向心力，向心力大小相等得：F引=F向
知：
联立①②求解得：x=
（2）由①③解得：ω=
答：（1）双星旋转的中心O到m1的距离是
（2）双星的转动角速度为
解析
解：（1）设m1到中心O的距离为x，双星的周期相同，由万有引力充当向心力，向心力大小相等得：F引=F向
知：
联立①②求解得：x=
（2）由①③解得：ω=
答：（1）双星旋转的中心O到m1的距离是
（2）双星的转动角速度为
若各国的人造地球卫星都在高度不同的轨道上做匀速圆周运动，设地球的质量为M，地球的半径为R地，重力加速度为g，万有引力恒量为G．则下述判断正确的是（ ）
A世界各国发射的所有人造地球卫星在轨道上做匀速圆周运动的运行速度都不超过v地=
B随着航天技术的不断创新和进步，未来可以制造出环绕地球周期小于2π
C卫星在轨道上做匀速圆周运动的圆心必定与地心重合
D地球同步卫星可相对地面静止在北京的正上空
正确答案
解析
解：A、根据万有引力提供向心力有：
B、根据万有引力提供向心力有：
C、卫星靠地球的万有引力提供向心力，万有引力方向指向地心，所以圆心和地心重合．故C正确．
D、同步卫星与地球保持相对静止，定轨道，位于赤道的上方，不可能在北京的上方．故D错误．
故选：AC．
某一星球的半径为R，在星球表面处的重力加速度为g，则距该星球表面高度为3R处的重力加速度为（ ）
A3g
B16g
C
D
正确答案
解析
解：根据
故选：D．
科学研究发现，在月球表面：①没有空气；②重力加速度约为地球表面的
正确答案
解析
解：（1）月球表面没有空气，氢气球与铅球在月球表面只受重力作用，
由静止释放，它们都竖直向下做自由落体运动，都处于完全失重状态，故A、B错误；
（2）氢气球与铅球从同一高度由静止释放，它们做自由落体运动，
∵h=
它们的运动时间相同，它们同时落地，故C正确，D错误；
故选C．
一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：
A．弹簧测力计一个
B．精确秒表一只
C．天平一台（附砝码一套）
D．物体一个
为测定该行星的质量M和半径R，宇航员在绕行及着陆后各进行一次测量，依据测量数据可以求出M和R（已知引力常量为G）．
（1）绕行时测量所用的仪器为______（用仪器的字母序号表示），所测物理量为______．
（2）着陆后测量所用的仪器为______，所测物理量为______．用测量数据求该星球半径R=______．
正确答案
B
周期T
ACD
物体质量m、重力F
解析
解：（1）在行星表面，由重力等于万有引力得：
mg=G
宇宙飞船绕行星表面做圆周运动时，万有引力等于向心力，则得：
G
由以上两式解得：
R=
M=
物体的重力F=mg…③
因而需要用秒表测量绕行时周期T，
（2）着陆后测量所用的仪器为ACD，用天平测量质量m，用弹簧秤测量重力F；所测物理量为物体重量F和质量m．
由②③得：M=
由①③得：R=
故答案为：B；周期T；ACD；物体质量m、重力F；
质量均为m的两个质点，当其间距为r，它们之间的万有引力为F．若现在将两质点的质量均变为原来的2倍，距离缩小为原来的
A8F
B4F
C
D16F
正确答案
解析
解：根据万有引力定律得F=
故选：D．
正确答案
解析
解：A、探测器在轨道Ⅱ上运动时，由万有引力充当向心力，故不需要点火，故A正确；
B、根据万有引力提供向心力G
C、探测器在P点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ必须减速，是卫星做近心运动，故C错误；
D、根据万有引力充当向心力知轨道半径可以取大于月球半径的任意值，故D错误；
故选：A．
某星球的半径为地球的2倍，质量为地球的3倍，已知地球的重力加速度为g=10m/s2、第一宇宙速度为8km/s．则（1）该星球的重力加速度为多少？
（2）该星球的第一宇宙速度为多少？
正确答案
解：（1）根据星球表面物体万有引力等于重力得：
该星球质量是地球的3倍，其球体半径是地球的2倍，所以x星球重力加速度是地球的
地球表面的重力加速度为10m/s2，所以x星球表面的重力加速度为7.5m/s2．
（2）第一宇宙速度是卫星绕星近表面速度，根据地球对卫星的万有引力提供向心力得：
该星球质量是地球的3倍，其球体半径是地球的2倍，所以该星球第一宇宙速度是地球的
地球的第一宇宙速度为7.9km/s，所以该星球的第一宇宙速度为
答：（1）该星球表面的重力加速度为7.5m/s2．（2）该星球的第一宇宙速度为9.8km/s．
解析
解：（1）根据星球表面物体万有引力等于重力得：
该星球质量是地球的3倍，其球体半径是地球的2倍，所以x星球重力加速度是地球的
地球表面的重力加速度为10m/s2，所以x星球表面的重力加速度为7.5m/s2．
（2）第一宇宙速度是卫星绕星近表面速度，根据地球对卫星的万有引力提供向心力得：
该星球质量是地球的3倍，其球体半径是地球的2倍，所以该星球第一宇宙速度是地球的
地球的第一宇宙速度为7.9km/s，所以该星球的第一宇宙速度为
答：（1）该星球表面的重力加速度为7.5m/s2．（2）该星球的第一宇宙速度为9.8km/s．
宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
正确答案
L2=h2+（vt）2
依图可得：
联立以上各式解得：
解得星球半径为：
答：星球的半径为
解析
L2=h2+（vt）2
依图可得：
联立以上各式解得：
解得星球半径为：
答：星球的半径为
已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍．不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为______．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比约为______．
正确答案
81：16
9：2
解析
解：根据万有引力等于重力表示出重力加速度得得：
得：g=
所以地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为81：16．
根据第一宇宙速度公式为：v=
故答案为：81：64，9：2．
火星表面特征非常接近地球，2011年11月4日，火星-500（MARS-500）实验圆满结束，我国志愿者王跃与俄罗斯志愿者一起完成“模拟登陆火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的
A王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的
B火星表面的重力加速度是
C王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是
D火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的
正确答案
解析
解：A、根据万有引力定律得，F=G
B、根据万有引力等于重力得，G
C、因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的
D、根据万有引力提供向心力G
故选：D．
假设地球绕太阳运动时的轨道半径为r地，公转周期为T地，月球绕地球运动的轨道半径为r月，公转周期为T月，地球质量为M地，太阳质量为M阳，则关于轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k，下列说法不正确的是（ ）
A地球绕太阳运动的
B月球绕地球运动的
C
Dk只与中心天体的质量有关
正确答案
解析
解：万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G
A、地球绕太阳运动的k地=
B、月球绕地球运动的k月=
C、
D、由k=
故选：ACD．
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