- 万有引力与航天
- 共16469题
一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一，上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。
正确答案
解：上述结果是错误的。题中GM
设卫星表面重力加速度为g1，行星表面重力加速度为g2，由万有引力定律得
Gm=g1R卫2，GM=g2R行2故
即卫星表面的重力加速度为行星表面重力加速度的0.16倍
2013年12月14日“嫦娥三号”着陆器突破了我国首次实现地外天体上的软着陆，着陆前，它从离月面h=4m高处做自由落体运动，并安全的降落在月球表面，已知月球表面的重力加速度为
（1）着陆器自由落体运动的时间t；
（2）着陆器着陆时的速度大小v0．
正确答案
（1）着陆器着落时做自由落体运动，根据位移时间关系公式，有：
h=
解得：
t=
（2）根据速度时间关系公式，有：
v=at=
答：（1）着陆器自由落体运动的时间t为
（2）着陆器着陆时的速度大小为
我国“神舟”六号宇宙飞船已经发射成功，当时在飞船控制中心的大屏幕上出现的一幅卫星运行轨迹图，如图，它记录了“神舟”六号飞船在地球表面垂直投影的位置变化．图中表示在一段时间内飞船绕地球圆周飞行四圈，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①、②、③、④，图中分别标出了各地点的经纬度（如：在轨迹①通过赤道时的经度为西经156°，绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时经度为180°…），若已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度g，地球自转周期为24h，根据图中的信息：
（1）如果飞船运行周期用T表示，试写出飞船离地面高度的表达式
（2）飞船运行一周，地球转过的角度是多少？
（3）求飞船运行的周期．
正确答案
（1）飞船绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，
设地球质量是M，飞船质量是m，轨道半径是r，
由牛顿第二定律可得：G
地球表面的物体m′受到的重力等于地球对它的万有引力，
即：m′g=G
由①②可以解得：r=
则飞船离地面的高度h=r-R=
（2）从图中信息可知，“神舟六号”转一圈，地球自转转过180°-156°=24°，
（3）“神舟六号”的周期为：T=
答：（l）如果飞船运行周期用T表示，飞船离地面的高度h=
（2）飞船运行一周，地球转过的角度是24°．
（3）飞船运行的周期是1.6h．
甲、乙两个行星的质量之比为81：1，两行星的半径之比为36：1．则：
（1）两行星表面的重力加速度之比；
（2）两行星的第一宇宙速度之比．
正确答案
（1）在行星表面，质量为m的物体的重力近似等于其受到的万有引力，则
G
则得 g=
故得：
（2）行星表面的环绕速度即为第一宇宙速度，做匀速圆周运动的向心力是万有引力提供的，则
G
得v1=
故得：
答：
（1）两行星表面的重力加速度之比；为1：16．
（2）两行星的第一宇宙速度之比为3：2．
一颗质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则：
（1）地球的质量M为多少？
（2）卫星到地面的高度h为多少？
正确答案
（1）对地球表面处的m0物体：
G
解得：M=
（2）对人造卫星m：
G
解得：h=
答：（1）地球的质量M=
（2）卫星到地面的高度h为h=
“神州六号”飞船的成功飞行为我国在2010年实现探月计划--“嫦娥工程”获得了宝贵的经验．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球作圆周运动．求：
（1）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（2）飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间．
正确答案
（1）设月球的质量为M，飞船的质量为m，飞船绕月运动速度为V，飞船绕月运动向心力为F，
则据圆周运动向心力公式得 F=m
据万有引力充当向心力得 F=G
据月球表面重力充当向心力得 G
联立①②③式解得 v=
故飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为 v=
（2）设飞船在轨道Ⅲ绕飞船在轨道月球运行一周所需的时间为T，此时重力充当向心力
则mg0=m(
∴T=2π
故飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
已知地球半径为R，质量为M，自转周期为T，引力常量为G一个质量为m的物体放在赤道处的水平地面上，则物体受到的万有引力F=______，它跟随地球自转需要的向心力为______，它的重力G′=______．
正确答案
根据万有引力定律的计算公式，得物体受到的万有引力：F=
由于知道了周期，所以它跟随地球自转需要的向心力：F向=m(
物体放在赤道处的水平地面上随地球一起做圆周运动所需要的向心力由万有引力的一个分力提供的，另一个分力为重力，即F=G′+F向，
所以物体的重力等于万有引力减去向心力，即：G′=F-F向=
故答案为：
飞船以a=
正确答案
根据牛顿第二定律得，F-mg′=ma，解得g′=2.5m/s2．
根据万有引力等于重力得，有：G
G
联立两式得，R+h=2R
则h=R=6400km．
答：飞船所处位置距地面高度为6400km．
在火星表面附近，某物体做自由落体运动；从自由释放瞬间开始计时，物体在前2s内的位移为16m．求：
（1）火星上的重力加速度为多少？
（2）第1s末物体的速度大小为多少？
正确答案
（1）假设火星上的重力加速度大小为g，根据自由落体运动公式有：h=
所以g=
（2）第1s末物体的速度大小为v=gt=8×1m/s=8m/s
答：
（1）火星上的重力加速度为8m/s2．
（2）第l s末物体的速度大小为8m/s．
某中子星的质量大约与太阳的质量相等，为2×1030kg，但是它的半径才不过10km，求：（1）此中子星表面的自由落体加速度．
（2）贴近中子星表面，沿圆轨道运动的小卫星的速度．
（已知引力常量为G=6.67×10-11Nm2/kg2，
正确答案
（1）重力等于万有引力，则G
中子星表面的自由落体加速度g=
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G
答：（1）此中子星表面的自由落体加速度为1.3×1012m/s2．
（2）贴近中子星表面，沿圆轨道运动的小卫星的速度为1.1×108m/s．
一位同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度vo水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x，通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，求：
（1）月球表面的重力加速度
（2）月球的质量
（3）环绕月球表面运行的宇宙飞船的线速度．
正确答案
依题意可知，
（1）月球表面的物体做平抛运动
x=vot
h=
故月球表面的重力加速度
g=
（2）由G
月球质量
M=
（3）由G
及G
环绕月球表面运行的宇宙飞船的线速度
v=
答：（1）月球表面的重力加速度g=
（2）月球的质量M=
（3）环绕月球表面运行的宇宙飞船的线速度v=
质量为m的物体放在地球赤道上随地球自转，物体对地面的压力大小为FN，已知地球的半径为R，自转周期为T，引力常量为G，某同学根据以上信息求得地球的质量M，他的求解过程如下：C=
2π
T
)2；M=
则：（1）请判断该同学的计算过程和结果是否正确？
（2）若你认为正确请说明理由，若你认为不正确请写出正确的解答．
正确答案
（1）不正确，赤道上物体的向心力不仅仅有万有引力提供
（2）地球赤道上物体随地球自转时的向心力由万有引力与地球的支持力提供，由牛顿第二定得：
2π
T
)2
整理得，M=
答：（1）不正确（2）地球的质量M为
（A选做）宇航员登上某一星球并在该星球表面做实验，用一根不可伸缩的轻绳跨过轻质定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的宇航员拉住，如图所示．宇航员的质量m1=65kg，吊椅的质量m2=15kg，当宇航员与吊椅以a=1m/s2的加速度匀加速上升时，宇航员对吊椅的压力为l75N．（忽略定滑轮摩擦）
（1）求该星球表面的重力加速度g；
（2）若该星球的半径6×105，地球半径6.4×106，地球表面的重力加速度10m/s2，求该星球的平均密度与地球的平均密度之比．
正确答案
（1）设宇航员受到绳向上的拉力为F，由于跨过定滑轮的两段绳子拉力相等，吊椅受到绳的拉力也是F，对他和吊椅整体进行受力分析如图所示，则有：
2F-（m1+m2）g=（m1+m2）a
设吊椅对宇航员的支持力为FN，压力为FN′，根据牛顿第三定律得：FN=FN′．
对宇航员，由牛顿第二定律得，F+FN-m1g=m1a
代入数据解得g=6m/s2．
（2）由星球密度ρ=
该星球的平均密度与地球的平均密度之比
代入数值解得
答：（1）星球表面的重力加速度为6m/s2．
（2）该星球的平均密度与地球的平均密度之比0.64．
2013年12月6日17时53分，嫦娥三号探测器成功完成一次“太空刹车”动作，顺利进入距月面平均高度H=100km的环月圆轨道，然后再次变轨进入椭圆轨道，最后进行月球表面软着陆．软着陆过程可简化为三个阶段：距月球表面15km时打开反推发动机减速，下降到距月球表面h1=l00m高度时悬停，寻找合适落月点；找到落月点后继续下降，距月球表面h2=4m时速度再次减为0；此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号质量为m，月球表面重力加速度为g′，月球半径为R，忽略嫦娥三号的质量变化．求嫦娥三号（所有结果均用题给字母表示）：
（1）经“太空刹车”后的速度大小；
（2）悬停时发动机对其的作用力；
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功．
正确答案
（1）设月球质量M，在圆轨道时，根据牛顿第二定律G
静止在月球表面上的物体m′，
G
公式代入变换后得：v=
（2）因受力平衡，有F=mg′
（3）从h1=l00m处到达h2=4m处过程，设发动机做功W1
由动能定理mg′（h1-h2）+W1=0
从h2=4m处落至月面过程，关闭所有发动机，发动机做功为0
得发动机做功W=W1=mg′(h2-h1)
答：（1）经“太空刹车”后的速度大小v=
（2）悬停时发动机对其的作用力为mg′．
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功为mg′（h2-h1）．
2003年10月15日，我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船“神舟”五号．火箭全长58.3m，起飞重量479． 8t，火箭点火升空，飞船进入预定轨道．“神舟”五号环绕地球飞行14圈约用时间21h．飞船点火竖直升空时，航天员杨利伟感觉“超重感比较强”，仪器显示他对座舱的最大压力等于他体重的5倍．飞船进入轨道后，杨利伟还多次在舱内飘浮起来．假设飞船运行的轨道是圆形轨道．（地球半径R取6． 4×103 km，地面重力加速度g取10m/s2，计算结果取二位有效数字）
（1）求火箭点火发射时，火箭的最大推力．
（2）估算飞船运行轨道距离地面的高度．
正确答案
（1）火箭点火时，航天员受重力和支持力作用，支持力为N=5mg，
由牛顿第二定律：N-mg=ma，
解得a=4 g．
此加速度即火箭起飞时的加速度，火箭受到向上的推力F与向下的重力；
由牛顿第二定律：F-Mg=Ma，
解得火箭的最大推力为F=2.4×107N．
（2）飞船绕地球做匀速圆周运动，
万有引力提供向心力：G
在地球表面，万有引力与重力近似相等，得G
又T=1.5h=5.4×103s．
解得h=3.1×102 km．
（1）火箭点火发射时，火箭的最大推力2.4×107N．
（2）估算飞船运行轨道距离地面的高度3.1×102 km．
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