- 万有引力与航天
- 共16469题
设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转角速度为ω，则沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为______；某地球同步通讯卫星离地面的高度H为______．
正确答案
（1）沿地球表面运行的人造地球卫星所需要的向心力来源于重力，即mg=m(
所以沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为 2π
（2）设地球质量为M，卫星质量为m，地球同步卫星到地面的高度为H，则
同步卫星所受万有引力等于向心力：G
在地球表面上物体的引力等于物体的重力：G
由上式联立可得：H=
答：沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为 2π
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。
正确答案
解：如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在
设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期
由①②式得
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由几何关系得
由③④⑤⑥式得
一个人曾经提出所谓“登天缆绳”的设想：用一绳竖在赤道正上方，使绳随着地球同步自转，只要这根绳子足够长，就不会坠落。人们可以沿着这条“登天缆绳”到太空中去游览。这一大胆的设想已被科学家证实在理论上是可行的，并且其长度也被算出约为1.5×105km。
（1）试利用相关的物理规律说明“登天缆绳”这一设想的理论可行性。
（2）指出“登天缆绳”上哪一点最容易断。
正确答案
解：（1）“登天缆绳”的重力提供缆绳随地球同步自转所需的向心力，故不会坠落。
（2）将缆绳分为无数个小段，在与同步卫星等高的h处，该小段缆绳所受地球引力正好提供其绕地球同步转动的向心力。由
A．已知引力常量为G，地球的质量为M，地球自转的角速度为ω0，月球绕地球转动的角速度为ω，假设地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，则此树顶上一只苹果的线速度大小为______，此速度______（选填“大于”、“等于”或“小于”）月球绕地球运转的线速度．
B．一小船与船上人的总质量为160kg，以2m/s的速度匀速向东行驶，船上一个质量为60kg的人，以6m/s的水平速度（相对跳离时小船的速度）向东跳离此小船，若不计水的阻力，则人跳离后小船的速度大小为______m/s，小船的运动方向为向______．
正确答案
（1）万有引力提供向心力
r=
根据v=rω0，所以v=ω0
地球自转的角速度等于同步卫星的角速度，轨道半径越大，角速度越小，知同步卫星的角速度大于月球绕地球转动的角速度，
根据v=rω，苹果的线速度大于月球绕地球运转的线速度．
（2）规定向东为正方向．选择河面为参照系．
人跳离此小船前后小船与船上人动量守恒．
（m人+m船）v0=m人v人+m船v船v人-v船=6m/s．
解得：v人=5.75，v船=-0.25m/s，负号说明小船的运动方向为与正方向相反，即向西．
故答案为：（1）ω0
（2）0.25，向西．
已知某星球的质量为地球质量的
正确答案
地球上第一宇宙速度为
v1=
卫星绕星球所受万有引力等于向心力
得v′=
因而v′=3.95km/s
故答案为：3.95
（1）设a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106m的卫星，c是地球同步卫星，则b卫星的运动周期T=______h；如果某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图1所示），经48h，a、b、c的大致位置是图2中的______．
（取地球半径R=6.4×106m，地球表面重力加速度g=10m/s2，π=
（2）有A、B两球在光滑水平面上沿着一条直线运动，它们发生碰撞后粘在一起，已知碰前两球的动量分别为PA=20kgm/s和PB=15kgm/s，碰撞后B球的动量改变了△PB=-5kgm/s，则碰撞后A球的动量为PA/=______kgm/s，碰撞前两球的速度大小之比vA：vB=______．
正确答案
（1）由于a物体和同步卫星c的周期都为24h．所以48h后两物体又回到原位置，
根据万有引力提供向心力得：G
解得：T=
G
而b的半径为9.6×106m，R=6.4×106m，地球表面重力加速度g=10m/s2．
解得：Tb=5.56h
然后再算b卫星在48小时内运行的圈数n=
故答案为：5.56，B
（2）AB球碰撞过程中动量守恒，根据动量守恒定律得：
PA+PB=PA/+PB/
解得：PA/=25kgm/s
碰撞后速度相等，设此速度为v，则
mAv=25kgm/s
mBv=10kgm/s
解得：
碰撞前有：
mAvA=20kgm/s
mBvB=15kgm/s
解得：
故答案为：25，8：15
（A） 如图，质量为M=3kg的木板放在光滑水平面上，质量为m=1kg的物块在木板上，它们之间有摩擦，木板足够长，两者都以v=4m/s的初速度向相反方向运动，当木板的速度为v1=2.4m/s时，物块的速度是______m/s，木板和物块最终的共同速度为______m/s．
（B）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的线速度v=______；向心加速度a=______．
正确答案
（A）以水平向右为正方向，根据动量守恒列方程有：
Mv-mv=mv1+Mv2，带入数据解得：v2=0.8m/s
设系统最终共同速度为v′，则根据动量守恒有：
Mv-mv=（M+m）v′，解得：v′=2m/s．
（B）根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出：
根据：G
解得：v=
根据：G
解得：a=G
故答案为：A：0.8，2；B：
北京时间2007年11月7号上午8点24分，在北京航天飞行控制中心的控制下，对“嫦娥一号”卫星成功完成了第一次近月制动，顺利完成第一次“太空刹车”动作，“嫦娥一号”被月球捕获，进入环月轨道， 成为我国第一颗月球卫星，此后又经两次制动，“嫦娥一号”进入距月球表面约200公里的圆轨道，设月球半径约为地球半径的
(1)请你说明，若第一次制动过小，“嫦娥一号”将不能成为月球卫星的理由．
(2)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？
(3)“嫦娥一号”卫星在距月球表面约200 km绕月做匀速圆周运动的速度大小约为多少？
正确答案
解：
(1)若第一次制动过小，“嫦娥一号”的速度过大，此时有：
(2)设地球、月球质量分别为M、M1，半径分别为 R、R1；卫星质量为m，在地球、月球上发射卫星的最小速度分别为v、v1.
在地球附近有：
对地球近地卫星有：
对月球近地卫星有：
联立解得：v1=1.8 km/s.
(3)当卫星轨道r=R1+h时，设卫星环绕速度为v2，由万有引力提供向心力得：
解得：v2=1.7 km/s．
如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常；
（2）若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
正确答案
解：（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
来计算，式中m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV ②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离，
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g'是这一改变在竖直方向上的投影
联立①②③④式得
（2）由⑤式得，重力加速度反常△g'的最大值和最小值分别为
由题设有
联立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的高度为h，地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球赤道表面的物体随地球自转的线速度大小的方法：
地球赤道表面的物体随地球作圆周运动，由牛顿运动定律有
又因为地球上的物体的重力约等于万有引力，有
由以上两式得：
（1）请判断上面的结果是否正确。如果正确，请说明理由；如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）由题目给出的条件还可以估算出哪些物理量？（写出估算过程）
正确答案
解：（1）以上结果是不正确的。因为地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力
正确解答如下：地球赤道表面的物体随地球自转的周期为T，轨道半径为R，所以线速度大小为
（2）①可估算地球的质量M，设同步卫星的质量为m，轨道半径为r=R+h，周期等于地球自转的周期为T，由牛顿第二定律有
可得
②或可估算同步卫星运行时线速度的大小v'，由①知地球同步卫星的周期为T
万有引力提供向心力
对地面上的物体有
所以得
猜想、检验是科学探究的两个重要环节。月－地检验为万有引力定律的发现提供了事实依据。请你完成如下探究内容：（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）
（1）已知地球中心与月球的距离r=60R （R为地球半径，R=6400km），计算月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度
（2）已知月球绕地球运转的周期为27.3天，地球中心与月球的距离r=60R，计算月球绕地球运动的向心加速度
（3）比较
正确答案
解：（1）设地球质量为M，月球质量为m。由万有引力定律有
得
在地球表面处，对任意物体
得
联立得
（2）由圆周运动向心加速度公式得
（3）由以上计算可知：地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力。
如图所示，是飞船控制中心的大屏幕上出现的一幅卫星运行轨迹图，它记录了“神舟”七号飞船在地球表面垂直投影的位置变化。图中表示在一段时间内飞船绕地球沿圆周匀速飞行了四圈，①、②、③、④为依次飞经中国和太平洋地区的四条轨迹，图中分别标出了各地的经纬度（如：轨迹①通过赤道时的经度为西经157.5°，绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时的经度为180°……）。
（1）为什么①、②、③、④四条轨迹在赤道上的投影点都偏西？
（2）根据图示的信息，可以计算出飞船的周期约为多少分钟？“神舟”七号搭载的宇航员在24h内可以看到的日落日出次数为多少？
（3）若某时刻飞船飞经赤道上空时，在其正上方恰好有一颗地球同步卫星，试分析飞船能否再次处于该同步卫星的正下方？如果能，至少需要多长时间？
（4）飞船运行轨道与地球同步卫星轨道的半径之比是多少？（可以保留根号）
正确答案
解：（1）从图示看，飞船是由发射场升空向东南方向运动，其轨道平面与赤道平面有一定的夹角。在飞船运动的每个周期内，由于地球自转（自西向东转），所以飞船轨迹在赤道上的投影点会向西移动。
（2）飞船飞行一周，地球自转22.5°，故飞行周期为
飞船绕行到地球向阳的区域，阳光能照射到它时为白昼，当飞到地球背阳的区域，阳光被地球挡住时就是黑夜。宇航员在24 h内看到日出日落次数应为n=24/1.5=16
（3）同步卫星24h转一周且相对地面是静止的，而飞船的运行周期为1.5h，其经24h运行16个周期后恰好经过赤道上的同一点，故飞船仍能再次处于该同步卫星的正下方
（4）设飞船运行周期为T1，轨道半径为r1，同步卫星运行周期为T2，轨道半径为r2，对飞船及同步卫星分别有
解得
将T1=1.5 h，T2=24 h，代入上式得
宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
正确答案
（1）
（2）
“神舟”七号飞船的成功发射为我国在2010年实现探月计划--“嫦娥工程”获得了宝贵的经验．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道运行．万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度v；
（3）飞船在圆形轨道绕月球运行一周所需的时间T．
正确答案
（1）月球表面的物体受到重力等于万有引力
所以M=
（2）飞船贴近月球表面飞行时的速度为第一宇宙速度，
此时重力等于万有引力提供向心力mg0=
所以v=
（3）由题可知，飞船的轨道半径r=3R+R=4R
飞船做圆周运动，万有引力提供向心力
将M=
解得：T=16π
答：（1）月球的质量M为
（2）月球的第一宇宙速度v为
（3）飞船在圆形轨道绕月球运行一周所需的时间T为16π
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：星体做匀速圆周运动的周期。
正确答案
解：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：
解得周期：
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