幂函数图象及其与指数的关系
共44题

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幂函数图象及其与指数的关系
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知满足则

的最大值为( )

正确答案

解析

已知满足则可化为

；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知

，，当且仅当取等号，即或

时，的最大值为.选Ａ.

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

运行下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是

D－1

正确答案

解析

略

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）若sin＝2cos A，求A的值；

（2）若cos A＝，b＝3c，求sin C的值。

正确答案

（1） A＝

（2）

解析

（1）由题设知sin Acos+cos Asin＝2cos A.从而sin A＝cos A，所以cos A≠0，tan A＝.因为0<A<π，所以A＝.

（2）由cos A＝，b＝3c及a2＝b2+c2-2bccos A，得a2＝b2-c2.

故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sin C＝cos A＝.

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n≥1.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）设构成等比数列，其中，则

①

②

①×②并利用，得

（2）由题意和（1）中计算结果，知

另一方面，利用

得

所以

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数图象及其与指数的关系

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A―BD―C的余弦值等于。对于图2，完成以下各小题：

（1）求A，C两点间的距离；

（2）证明：AC平面BCD；

（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）取BD的中点E，连接AE，CE，

由AB=AD，CB=CD得，

就是二面角A―BD―C的平面角，

在△ACE中，

（2）由AC=AD=BD=2，AC=BC=CD=2，

（3）以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C－xyz，

则

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：

（1）在内是单调函数；

（2）在上的值域为，则称区间为函数的“和谐区间”。下列函数中存在“和谐区间”的是

①， ② ，

③， ④ ，

正确答案

①③④

解析

解：①中时在上是增函数，值域是∴①存在和谐区间. ②若存在和谐区间则∴a,b为根据导数可知在R上的最小值大于0所以无解∴不存在和谐区间.③在为减函数在的值域为∴存在和谐区间.④，时上值域是∴②存在和谐区间

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：简答题

简答题 · 13 分

设为数列｛}的前n项和，

（1）若，求的值；

（2）是否存在实数λ，使得数列{}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

（3）当λ=2时，若数列{}满足，且，求数列{}的前n项和.

正确答案

见解析

解析

解析：

则由解得λ=0或2.

（2）假设存在实数λ，使得数列{}是等差数列，则可令=kn+b

由（1）得

但由与它矛盾

故不存在存在实数λ，使得数列{}是等差数列。

（3）当λ=2时得

又由得

。

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

20.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为,赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且//；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．

（1）求的值和的大小；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时点的位置。

正确答案

解析

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知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

10. 若集合，且，则集合构成的图形的面积为（）

正确答案

解析

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

5. 已知数列满足，则等于（）

正确答案

解析

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：简答题

简答题 · 13 分

16．已知函数，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范围是．

解析

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则（）

C14

D21

正确答案

解析

由题意知，所以而是奇函数，所以，所以，选D

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：填空题

填空题 · 4 分

1．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点（）。

正确答案

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

5．设a∈R，则a>1是<1 的（）

A充分但不必要条件

B必要但不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

4．用0．618法选取试点，实验区间为，若第一个试点处的结果比处好，，则第三个试点应选取在（）

A2．236

B3．764

C3．528

D3．925

正确答案

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

4．已知是偶函数，当恒成立，则的最小值是（）

正确答案

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知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：填空题

填空题 · 4 分

9．对于问题：“若关于的不等式的解集为，则关于的不等式”的解为 __________。

正确答案

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题型：填空题

填空题 · 4 分

11．复数等于（）

正确答案

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知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

12. 设且，则（）；（）

正确答案

7；6

解析

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幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

2.下列命题中是假命题的是（）

A∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

B∀a>0，f(x)＝lnx－a有零点

C∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ

D∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减

正确答案

解析

对于A，当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，∴ A是假命题；对于B，∵y=lnx时，y∈R，∴对于∀a＞0，f（x）=lnx﹣a有零点是正确的∴ B是真命题；对于C，当α=时，cos（+β）=cos+sinβ，∴C是真命题；对于D，m=2时，函数f（x）=（m﹣1）•xm2﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上递减，∴ D是真命题．

知识点

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