热门试卷

解：（1）由g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，得

在[1，+∞）上恒成立，即，

∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故xsinθ-1≥0在[1，+∞）上恒成立，

只需1•sinθ-1≥0，即sinθ≥1，结合θ∈（0，π），得．

所以，θ的取值集合为{}；

（2）由（1）得，f（x）-g（x）=mx-，，

由于f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，

则mx2-2x+m≥0或mx2-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，

即或在[1，+∞）上恒成立，

故m≥1或m≤0．

综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

解：①f′（x）=；

∴x∈（-∞，0）和x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；

∴函数f（x）的单调减区间是：（-∞，0），（0，1）；单调增区间是：[1，+∞）；

②g（x）=ex-ax+1，

∴g′（x）=ex-a；

∵g（x）在（0，+∞）上存在极值点；

∴g′（x）=0在（0，+∞）上有实数解；

∴由g′（x）=0得：ex=a，

∴x=lna；

∵x＞0，

∴lna＞0，

∴a＞1；

∴实数a的取值范围为（1，+∞）．

解：（1）由，

得．

取，得，

解之，得，

（2）因为f（x）=x3-x2-x+C．

从而，列表如下：

∴f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是．         

（3）函数g（x）=（f（x）-x3）•ex=（-x2-x+C）•ex，

有g′（x）=（-2x-1）ex+（-x2-x+C）ex=（-x2-3 x+C-1）ex，

当函数在区间x∈[-3，2]上为单调递增时，

等价于h（x）=-x2-3 x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，

只要h（2）≥0，解得c≥11，

当函数在区间x∈[-3，2]上为单调递减时，

等价于h（x）=-x2-3 x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，

即△=9+4（c-1）≤0，解得c≤-，

所以c的取值范围是c≥11或c≤-．

解：（Ⅰ）∵x＞0，所以当a≤0时，f′（x）=-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）

当a＞0时，f（x）在（0，）上f′（x）=-a＞0，f（x）在（，+∞）上f′（x）=-a＜0，

故f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+∞）上是减函数．

（Ⅱ）当a=时，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-x+1）=xlnx+x-x2，（x＞1）

∴g′（x）=lnx-x+2…（6分）

令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，

则f′（X）=-1＜0，∴F（x）在（1，+∞）内单调递减．…（8分）

∵F（1）=1＞0．F（2）=ln2＞0，F（3）=g′（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0．

F（4）=g′（4）=ln4-4+2=ln4-2＜0，（9分）

∴F（x）即g′（x）在（3，4）内有零点，即g′（x）在（3，4）内存在极值．…（11分）

又∵g（x）在（k，k+1）上存在极值，且k∈Z，

∴k=3．…（12分）

解：f′（x）=2e2x+1-a，

（1）由题意知：f′（0）=2e-a=e，得a=e；

（2）当a≤0时，f′（x）＞0，

∴f（x）在R上单调递增，

当a＞0时，由：f′（x）=2e2x+1-a＞0，得，

∴f（x）在上单调递增，

由：f′（x）=2e2x+1-a＜0，得x＜，

∴f（x）在（-∞，）上单调递减，

综上：当a≤0时，f（x）的单调递增为R，

当a＞0时，f（x）的单调递增为，单调递减区间为（-∞，），

（3）由f（x）≥1得，e2x+1≥ax，当x=0时，不等式成立，当x∈（0，1]时，a≤，

令，则，易知，当时g′（x）＜0，当时g′（x）＞0，

∴g（x）在上单调递减，在上单调递增，

∴g（x）的最小值为，

∴a的取值范围为（-∞，2e2]．