热门试卷

（Ⅰ）f′（x）==

f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，

解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故f(x)=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=，故f（x）在(，1)上单调递增，在（1，2）上单调递减，由f(1)=2，f(2)=f()=，故f（x）的值域为[，2]

依题意g′(x)=a-=，记M=[，]，∵x∈M∴e≤≤e2

（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得0≤a≤e，

故此时0≤a≤e

（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当x∈(，)时，g′（x）＜0，当x∈(，)时，g′（x）＞0．依题意由g()≤，得1-ln≤，即a≤e35．与a＞e矛盾

（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得 即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0≤a≤e

（Ⅰ）当a=b=-1时，f′(x)=-2x-1+=-…（2分）

由于x＞0，由f′（x）＞0即＜0，可得0＜x＜

∴f（x）的单调递增区间为(0，)，

又函数的单调减区间是（，+∞）（4分）

∴f(x)极大值=f()=-ln2，f（x）无极小值…（6分）

（Ⅱ）（1）f′（x）=…（7分）

∵f（x）在x=1，和x=处取得极值

∴f′(1)=f′()=0…（8分）

∴

∴a=1，b=-3

∴f（x）的解析式是f（x）=x2-3x+1+lnx…（9分）

（2）由（1）得f′(x)=．

∴当x∈[，]时，f′（x）＞0，故f（x）在[，]单调递增．

x∈[，1]时，f′（x）＜0，故f（x）在[，1]单调递减

x∈[1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增…（11分）

∴f(x)极大值=f()=-ln2…（12分）

而f（2）=-1+in2

∵f(2)-f()=-+ln4＞0

∴f（x）max=-1+ln2，…（13分）

∴m≥-1+ln2…（14分）

（Ⅰ）因为f(x)=+4lnx

所以f′(x)=-+=

当0＜x＜时，f'（x）＜0，∴递减区间为（0，）；

当x＞时，f'（x）＞0，∴递增区间为(，+∞)

（Ⅱ）令f′(x)=-+≥0

∴≥

又∵x≥1

∴a≥恒成立

又因为≤2在x[1，+∞）上恒成立

∴a≥2

（Ⅲ）∵g(x)=x2(-+)+2x3=2x3+ax-2（x＞0）

∴g'（x）=6x2+a

当a≥0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值；

∴a＜0

令g'（x）=0则x0=⇒a=-6x02

当0＜x＜x0时，g'（x）＜0，g（x）递减；

当x＞x0时，g'（x）＞0，g（x）递增；

∴当x=x0时，g（x）取最小值-2-8．

g(x0)=2+ax0-2=2-6•x0-2=-4-2=-8-2

∴=2

∴x0=

∴a=-12

∴f(x)=-12lnx

（Ⅰ）由题意可得：f（x）=x3-2x2+x，、

所以f'（x）=3x2-4x+1，

令f'（x）≥0得3x2-4x+1≥0，解得x≤或x≥1

故f（x）的增区间(-∞，]和[1，+∞）（4分）

（Ⅱ）由题意可得：f'（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

并且当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤．（5分）

故有-≤f'（1）≤，-≤f'（-1）≤，及-≤f'（0）≤，（6分）

即…（8分）

①+②，得-≤ab≤-，…（8分）   

又由③，得ab=-，将上式代回①和②，得a+b=0，

故f(x)=x3-x．（10分）

（Ⅲ）假设⊥，即•=（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0（11分）

所以有：（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1[st-（s+t）a+a2][st-（s+t）b+b2]=-1，…（11分）

由s，t为f'（x）=0的两根可得，s+t=（a+b），st=，（0＜a＜b）

从而有ab（a-b）2=9．…（12分）

这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=+4ab≥2=12

即 a+b≥2，这与a+b＜2矛盾．…（14分）

故与不可能垂直．…（16分）

（1）f′（x）=3ax2+c=0 

由②知c=-12a

∵函数f（x）图象过点（3，-6）；

∴27a+3c=-6

∴a=，c=-8，

故f(x)=x3-8x；

（2）若α，β∈R，2cosα，2sinβ∈[-2，2]，

而y′=2x2-8≤0在[-2，2]恒成立，故y=f（x）在[-2，2上是减函数

∴ymin=f(2)=-，ymax=

∴∴|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤|-(-)|=

（1）∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）

∴可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）

∴f（x）图象的对称轴为x=3

∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）

∵f（x）在[0，4]上的最大值是8

∴f（0）=8a=8

∴a=1

∴f（x）=x2-6x+8

（2）方程f（x）=g（x）恒等变形为x3-6x2+9x-k=0（x≠0）

设F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）

则F′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）

∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，F'（x）＞0

  当x∈（1，3）时，F′（x）＜0

∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上递减

∴当x=1时，F（x）取得极大值4

  当x=3时，F（x）取得极小值0      

又∵F（0）=0

∴当方程x3-6x2+9x-k=0（x≠0）有且只有一个根时k≤0或k＞4

由f（1）=4得，a+b+c=4  ①

又∵f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=2a+b=1，②

∵∫01f（x）dx=∫01（ax2+bx+c）dx=a+b+c

∴a+b+c=  ③

联立①②③式解得，a=-1，b=3，c=2

∴f（x）=-x2+3x+2．

（Ⅰ）已知函数f(x)=，∴f′(x)=．（2分）

又函数f（x）在x=1处取得极值2，

∴即⇒∴f(x)=．（4分）

（Ⅱ）∵f′(x)==．

由f′（x）＞0，得4-4x2＞0，即-1＜x＜1，

所以f(x)=的单调增区间为（-1，1）．（6分）

因函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，则有解得-1＜m≤0，

即m∈（-1，0]时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数．（9分）

（Ⅲ）∵f′(x)=，

∴直线l的斜率为k=f′(x0)==4[-]（11分）

令=t，t∈(0，1)，则直线l的斜率k=4（2t2-t）（t∈（0，1）

∴k∈[-，4]，即直线l的斜率k的取值范围是[-，4]（14分）

[或者由k=f（x0）转化为关于x02的方程，根据该方程有非负根求解]．

（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）

依题意有-和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根

∴解得 ，∴f（x）=x3-x2-x．（经检验，适合）．

（2）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）

依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，∵x1x2=-＜0且 |x1|+|x2|=2，

∴(-

2b

3a

)2+=12，∴b2=3a2（9-a）

∵b2≥0∴0＜a≤9．

设p（a）=3a2（9-a），则p'（a）=54a-9a2．

由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．

即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，

∴当a=6时，p（a）有极大值为324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，

∴b的最大值为18．