- 导数在研究函数中的应用
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2010年某电视生产厂家中标商务部家电下乡活动，若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p万元，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为mlnp（m＞0）万元，
（1）当m=
（2）当m≥1时，农民得到的补贴随厂家投放A型号电视机金额的变化而怎样变化？
正确答案
设投放的A型号的电视机的价值为x万元，则投放的B型号的电视机的价值为（10-x）万元，且x≥1，10-x≥1，即1≤x≤9，根据题意农民获得补贴y=mlnx+
（1）当m=
当x∈（1，4）时y'＞0，
当x∈（4，9）时y'＜0，故x=4是函数y的极大值点，又是唯一的极大值点，故也是y的最大值点，
此时ymax=
即厂家分别投放A、B两种型号电视机4万元和6万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.2万元…（9分）
（2）由y′=
当m≥1时，10m≥10，而1≤x≤9，∴此时y'＞0恒成立，∴y在[1，9]上是增函数
因此随A型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐增加．…（13分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
正确答案
（1）设摩天轮上总共有n个座位，则x=
定义域{x|0＜x≤
（2）当k=100时，令y=100(
则f′(x)=-
∴x32=
当x∈(0，
当x∈(
ymin在x=
某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）2万件．但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．若该企业所生产的产品全部销售．
（1）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．
正确答案
（1）依题意，利润函数L（x）=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用，
代入数据得：
利润函数L（x）=（x-3）（11-x）2-a（11-x）2=（x-3-a）（11-x）2，x∈[7，10]．
（2）对利润函数求导，得L′（x）=（11-x）2-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x）（17+2a-3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x=
因为1≤a≤3，所以
所以，①当
所以[L（x）]max=L（7）=16（4-a）
②当7＜
即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．
当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为
已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若x＞-1，证明：1-
正确答案
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f'（x）=
由f'（x）＜0及x＞-1，得x＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，
即f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，
因此，当x＞-1时，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．…（6分）
令g(x)=ln(x+1)+
则g′(x)=
∴当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．…10
∴当x＞-1时，g（x）≥g（0），
即 ln(x+1)+
∴ln(x+1)≥1-
综上可知，当x＞-1时，
有1-
已知函数f(x)=
（1）a=1时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）a=1时，F(x)=
则F′(x)=
令F'（x）≥0有：x≤0（舍去）或x≥1；令F'（x）≤0有0≤x≤1…（5分）
故F（x）的单增区间为[1，+∞）；单减区间为（0，1]．…（6分）
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），即F(x)=
则F′(x)=
①当a≤e时，ex-a＞0成立，则x＞1时，F'（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上单增，…（7分）
令F（1）=e-a-a≥0，∴a≤
②a＞e时，F'（x）=0有x=1或x=lna＞1
令F'（x）≥0有x≤1或x≥lna；令F'（x）≤0有1≤x≤lna…（9分）
即F（x）在（1，lna]上单减；在[lna，+∞）上单增…（10分）
故F（x）min=F（lna）=-aln（lna）-a＞0，∴a＜e1e，舍去…（11分）
综上所述，实数a的取值范围a≤
某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q （件）与实际销售价x （元）满足关系Q=
（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．
正确答案
（1）据题意，得y=
=
（2）由（1）得：当5＜x＜7时，y=39（2x3-39x2+252x-535）
y'=234（x2-13x+42）=234（x-6）（x-7）
当5＜x＜6时，y'＞0，y=f（x）为增函数
当6＜x＜7时，y'＜0，y=f（x）为减函数
∴当x=6时，f（x）极大值=f（16）=195（8分）
当7≤x＜8时，y=6（33-x）∈（150，156]
当x≥8时，y=-10（x-9）2+160
当x=9时，y极大=160（10分）
综上知：当x=6时，总利润最大，最大值为：195（12分）
设函数f（x）=lnx，g(x)=px-
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：1+
正确答案
（I）函数f（x）=lnx的定义域为（0，+∞）
g(x)=px-
则函数f（x）的定义域也为（0，+∞）
若g′(x)≥0⇒px2+p-2x≥0⇒p≥
∵x+
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
h′(x)=
令h'（x）=0⇒x=0
∴x=0时，h（x）=h（0）=0
∴x＞-1时，h（x）≤0⇒ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令x=
1+
函数y=f（x）g（x）在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g（x）lnf（x），两边求导数
正确答案
仿照题目给定的方法，f（x）=x，g（x）=
所以f′（x）=1，g′（x）=-
所以，y′=(-
∵x＞0∴x1x＞0 ， x2＞0
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0
即：x∈（0，e）
y=x1x(x＞0)的一个单调增区间为：（0，e）或它的一个子集即可，
故答案为：（0，e）或它的一个子集．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax·g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）·g'（x）＞f'（x）·g（x），④若
正确答案
（0，
已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=
正确答案
（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m2+2m+3＞0即m2-2m-3＜0∴-1＜m＜3，又m∈z，∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数，∴f（x）=x4．
（2）g'（x）=x（x2+3ax+9），显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根．
为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a2-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2]．
这时，g（0）=-b是唯一极值．∴a∈[-2，2]．
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