热门试卷

（1），（2），（3）

试题分析：（1）函数在处单调性发生变化，所以，由得.（2）因为，所以，因此因为函数在上有三个零点，所以必有两个不等的根，．又在上是增函数，所以大根不小于1，即，，故的取值范围为．（3）已知不等式解集求参数取值范围，有两个解题思路，一是解不等式，根据解集包含关系对应参数取值范围.二是转化，将不等式在区间有解理解为恒成立问题，利用函数最值解决参数取值范围.本题由于已知是其中一个零点，所以两个方法都简便.否则应利用变量分离求最值法.

试题解析：（1）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．         1分

∵f（x）在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取到极小值，即．∴．           3分

（2）由（1）知，，

∵是函数的一个零点，即，∴．           5分

∵的两个根分别为，．

又∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，

∴，即．                      7分

∴．

故的取值范围为．                9分

（3）解法1：由（2）知，且．

∵是函数的一个零点，∴，

∵，∴，

∴点是函数和函数的图像的一个交点．           10分

结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．

即方程组①只有一组解：            11分

由，得．

即．

即．

∴或．            12分

由方程②

得．∵，

当，即，解得．           13分

此时方程②无实数解，方程组①只有一个解

所以时，的解集为．           14分

（3）解法2：由（2）知，且．

∵1是函数的一个零点

又的解集为，

∴的解集为．          10分

．

．                            12分

．

．          14分

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）见解析

试题分析：

（1）函数f(x)是二次与对数的结合，求单调性可以利用导数，以此先求定义域，求导，求导函数大于0与小于0分别求出单调递增与单调递减区间.

（2）要使得函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，

不等式恒成立即可，即转化了恒成立问题，则只需要,故考虑对求导求单调性来确定函数在上的最大值，因为导函数含有参数a，所以在求解单调性确定最值的过程中需要讨论a的范围，讨论需从两根的大小和0的大小进行分析才能确定的最值，从而得到a的取值范围.

（3）考虑把不等式两边同时去对数再证明，即证明，利用对数的乘法公式可以把不等式的左边化解成为不可求和数列的和，在利用利用（2）得到当a=0时，ln(1+x)是恒成立的，把不可求和数列放缩成为可以裂项求和的数列，裂项利用，进而证明原不等式.

试题解析：

（1）当时，（），

（），  1分

由解得，由解得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．  3分

（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，

不等式恒成立，即恒成立，

设（），只需即可．  4分

由，

（ⅰ）当时，，当时，，

函数在上单调递减，故成立．   5分

（ⅱ）当时，由，因，所以，

①，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，

在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，

在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．   8分

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数的取值范围是．   10分

（3）据（2）知当时，在上恒成立.

（或另证在区间上恒成立），   11分

又，

∵

，

.       14分

（1）；（2）使函数在时取得极小值的的取值范围是；（3）不能相切，过程见解析．

试题分析：（1）当时，,先求导函数，将代入可得；（2），令，得或，对进行讨论，当时，在区间上单调递减，没有极小值，当时，是函数的极小值点，当时，是函数的极大值点；（3）极大值为，则，可得，令则恒成立，即在区间上是增函数．当时，，即恒有，直线斜率为，不可能相切．

解（1）当时，．．

所以．

（2）．

令，得或．

当，即时，

恒成立，

此时在区间上单调递减，没有极小值；

当，即时，

若，则．若，则．

所以是函数的极小值点．

当，即时，

若，则．若，则．

此时是函数的极大值点．

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．

（3）由（2）知当，且时，，

因此是的极大值点，极大值为．

所以．．

令．

则恒成立，即在区间上是增函数．

所以当时，，即恒有．

又直线的斜率为，

所以曲线不能与直线相切．

（1）；（2）（1）；（2）

试题分析：（1）分析可知原命题，分别求导令导数等于0，讨论导数的正负，导数大于0得增区间，导数小于0得减区间，再根据单调性求最值。（2）（1），先求导得，可看成关于的一次函数，因为可得，即用导数讨论和的单调性，用单调性求其最值。从而可得得范围。（2）时函数有零点，说明存在使。由（1）可知在为单调递减函数，所以函数，同（1）可得时的最大值是，比较和的大小得函数的最大值从可得的最大值。

试题解析：（1）原命题，先求函数的最小值，令，得.当时，；当时，，故当时，取得极（最）小值，其最小值为；而函数的最小值为m,故当时，结论成立

（2）（1）：由，可得，把这个函数看成是关于的一次函数，（1）当时，，因为，故的值在区间上变化，令，，则，在为增函数，故在最小值为，又令，同样可求得在的最大值，所以函数在的值域为。

（2）（2）当时，的最大值，故对任意，在均为单调递减函数，所以函数

当时，因为，，故的值在区间上变化，此时，对于函数，存在，在单调递减，在单调递增，所以，在的最大值为，因为，，所以，故的最大值是，又因为，故当函数有零点时，实数m的最大值是.

（1）详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先求函数的导数，利用单调递增，单调递减，但在解题过程中需讨论a的正负；第二问，利用第一问的结论，函数的单调性，确定函数的极大值在时取得，将代入中得到极大值，列出方程解出a的值，得到结论.

试题解析：（1）函数的定义域为.求导得   3分

当时，令，解得，此时函数的单调递增区间为；          5分

当时，令，解得，此时函数的单调递增区间为，  7分

（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，于是当时，函数取到极大值，极大值为，

故的值为          13分

（1）证明过程详见解析；（2）(－∞，0].

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的函数思想.第一问，先将转化为，先得到表达式，对求导，利用“单调递增；单调递减”解不等式求函数的单调区间，利用函数的单调性确定最小值所在的位置；第二问，将转化为，令F(x)＝f(x)－g(x)对f(x)求导，由于的正负不明显，所以进行二次求导，二次求导后得到G¢(x)＝ex－k，只需讨论k的正负，通过的单调性，求出的最值，来判断的正负，来判断的单调性，从而求的最值.

（1）当k＝1时，设h(x)＝f(x)－g(x)＋＝ex－x－1，h¢(x)＝ex－1． 1分

当x∈(－∞，0)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．

所以h(x)≥h(0)＝0．

故f(x)≥g(x)－．           4分

（2）设F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x2－x－1，则F¢(x)＝ex－kx－1．

设G(x)＝ex－kx－1，则G¢(x)＝ex－k．       6分

（1）若k≤0时，则G¢(x)＞0，G(x)单调递增，

当x∈(－∞，0)时，G(x)＜G(0)＝0，即F¢(x)＜0，F(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，G(x)＞G(0)＝0，即F¢(x)＞0，F(x)单调递增．

故F(x)≥F(0)＝0，此时f(x)≥g(x)．       9分

（2）若k＞0，则

当x∈(－∞，－)时，ex－1＜0，－x2－x＝－x(kx＋2)＜0，

从而F(x)＝ex－1－x2－x＜0，这时f(x)≥g(x)不成立．   11分

综上，k的取值范围是(－∞，0]．        12分

(1)

(2)见解析；

(3)

(1)的反函数为．

设直线与的图象在处相切，则

，解得．

(2)曲线与的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数．

令，则，∴．

当时，，在(0，2)上单调递减;

当时，，在(2，+∞)上单调递增，

∴在(0，+∞)上的最小值为．

当时，曲线与y=m无公共点;

当，曲线与y=m恰有一个公共点;

当时，在区间(0，2)内存在，使得，在(2，+∞)内存在，使得．

由的单调性知，曲线与y=m在(0，+∞)上恰有两个公共点．

综上所述，当x>0时，

若，曲线与没有公共点;

若，曲线与有一个公共点;

若，曲线与有两个公共点．

(3)解法一:可以证明．事实上，

．(*)

令，

则，

(当且仅当x=0时等号成立)，

∴在[0，+∞)上单调递增，

∴时，．

令，即得(*)式，结论得证．

解法二:

，

设函数，

则，

令，则(当且仅当x=0时等号成立)，

∴单调递增，

∴当x>0时，，∴单调递增．

当x>0时，u(x)>u(0)=0．

令，得，

∴，

因此，．

（1）最小值为.（2）.

（3）当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

试题分析：（1）的定义域为，根据，得在上增函数，当时，取得最小值.

（2）由于,设.

依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.

根据或，解得实数取值范围是.

（3）由，令.分，讨论的符号及驻点情况.

1)当时，在上恒成立，，此时，函数没有极值点.

2)当时，

①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.

②当即时，

当时，易知，这时；

当或时，易知，这时.

时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

解答本题的主要难度在于转化思想与分类讨论思想的利用.

试题解析：（1）的定义域为，，在上增函数，当时，取得最小值，在上的最小值为.          4分

（2）,设.

依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.

注意到抛物线开口向上,所以只要或即可.

由得,解得，

由得,得，

，即实数取值范围是.          8分

（3），令。

1)显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.

2)当时，

①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.

②当即时，

当时，易知，这时；

当或时，易知，这时.

时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

综上，当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.    13分

（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）先求导数，及其零点，判断导数符号变化，即可得原函数增减变化，可得其极值。（Ⅱ）函数在是增函数，转化为，对恒成立问题。即的最小值大于等于0.将问题最终转化为求的最小值问题。仍用导数求单调性，用单调性求最值的方法求的最小值。所以需设函数，对函数重新求导，求极值。判断导数符号变化，得的增减区间，的最小值。

试题解析：解：（Ⅰ）定义域．

当时，，．

令，得．

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以函数的极小值是．                         5分

（Ⅱ）由已知得．

因为函数在是增函数，所以，对恒成立．

由得，即对恒成立．

设，要使“对恒成立”，只要．

因为，令得．

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以在上的最小值是．

故函数在是增函数时，实数的取值范围是      13分