热门试卷

(1) f(x)＝x3 x＋3， (2) m>2e e3

试题分析：(1)三个条件，三个未知数，本题就是通过条件列方程组解参数，第一个条件说的是单调性，实质是导数，即，3a＋2b＋c＝0；第二个条件是函数的奇偶性，利用恒成立即可，b＝0；第三个条件是导数几何意义，即， c＝ 1 ；因此；(2)存在型问题，转化为函数最值，首先进行变量分离，即m>xlnx x3＋x，然后求函数M(x)＝xlnx x3＋x在[1，e]上最小值，这又要利用导数研究函数M(x)在[1，e]上的单调性，分析得为M(x)在[1，e]上递减，所以M(x)最小值为M(e)＝2e e3于是有m>2e e3

试题解析：解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0                                      ①

由f′(x)是偶函数得：b＝0                                    ②

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝ 1       ③

由①②③得：a＝，b＝0，c＝ 1，即.     4分

(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx x3＋x                    6分

设M(x)＝xlnx x3＋x，x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx 3x2＋2        8分

设H(x)＝lnx 3x2＋2，则H′(x)＝ 6x＝                 10分

∴M(x)在[1，e]上递减，

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤ 1<0，即M′(x)<0

∴M(x)≥M(e)＝2e e3

于是有m>2e e3为所求．                     12分

（1）单调增区间是，；

（2）时，；时，==；时，==.

（3）证明详见解析.

试题分析：（1）求f（x）的导函数f′（x），讨论a的值使f′（x）＞0时对应f（x）单调增，

f′（x）＜0时，对应f（x）单调减；

（2）结合（1），讨论a的取值对应f（x）在区间[1，e]内的单调性，从而求得f（x）在区间[1，e]内的最小值．

试题解析：（1）当时，=，，得或，故的单调增区间是，。   3分

（2）=，==，

令=0得或。

当时，，递增，；        6分

当时，，＜0，递减；，，递增，

==             7分

当时，，0，递减，==…8分

（3）令=—，。，递减，

，，∴ ，

==……=  （）……13分

（1）的极大值为…

（2）

（3）

（1）由题知…………………………2分

令得 

当变化时，的变化情况如下表：

所以当时，的极大值为………………………………4分

（2）当时，

由（1）知当和时，分别取得极小值

所以函数的值域为…………………………8分

（3）当时， 即

令

∵  ∴在上单调递增   所以只需  即

解得或 所以满足条件的的取值范围是…………12分

（1）（2）见解析（3）见解析

（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（*）

，． （**）

由（*）、（**）两式，解得，．……………………………2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，

，当时，，则是增函数，

，是增函数，，．…………………5分

因此，实数的取值范围是．………………………………………6分

（2）当时，，

，在上是增函数，在上的最大值为．

要对内的任意个实数都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．

，解得．

因此，的最大值为．………………………………………10分

（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，

即．………………………………………………………11分

令，得，

化简得，………………………………13分

．………………………14分

（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，

根据（1）的推导有，时，，即．

令，得，即．

因此，时不等式成立．………………………………11分

（另解：，，，即．）

假设当时不等式成立，即，

则当时,，

要证时命题成立，即证，

即证．

在不等式中，令，得

．

时命题也成立．………………………………………13分

根据数学归纳法，可得不等式对一切成立． …14分

本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．

(1)  ,(2) .

试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.

试题解析：（1）由题意得，            4分

解得即.         7分

（2）记“环岛”的整体造价为元，则由题意得

，         10分

令，则，

由，解得或，               12分

列表如下：

所以当，取最小值.

答：当时，可使“环岛”的整体造价最低.            14分

（Ⅰ）函数的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）在区间上的最大值为０．

试题分析：（Ⅰ）求函数的单调区间，首先对函数求导，得函数导函数，直接让导函数大于0，解出大于零的范围，就求出增区间，令导函数小于0，解出小于零的范围，从而求出减区间；（Ⅱ）直线是曲线的切线，由导数的几何意义，利用切线的斜率即为切点处的导数值，以及切点即在直线上，又在曲线上，即为的共同点，联立方程组，解方程组，即可求实数的值；（Ⅲ）求在区间上的最大值，可利用导数来求，先求出的解析式，由的解析式求出的导函数，令的导函数，解出的值，从而确定最大值，由于含有参数，因此需分情况讨论，从而求得其在区间上的最大值．

试题解析：(Ⅰ）①（）

令，则，又的定义域是

∴函数f(x)的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）

（II）设切点为则  解得      7分

（III）      

令，则，

①当时，在单调增加     9分

②当时，在单调减少，在单调增加；

若时，；

若时，；        11分

③当时，在上单调递减，；

综上所述，时，；

时，。        14分

（1）函数的极大值为；（2）详见解析；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数求出函数的极大值即可；（2）先求出导数，并求出方程的两根和，对这两根的大小以及两根是否在区间进行分类讨论，并借助导数正负确定函数在区间上的单调区间；（3）先利用函数在、两点处的切线平行得到，通过化简得到，利用基本不等式转化为

在上恒成立，于是有，进而求出的取值范围.

试题解析：（1）当时，，定义域为，

所以，

令，解得或，列表如下：

故函数在处取得极大值，即；

（2），

由于，解方程，得，，

①当时，则有，

当时，；当时，，

即函数在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为；

②当时，，则在区间上恒成立，

故函数在区间上单调递减；

③当时，则有，

当，；当时，，

故函数在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为；

（3）由（2）知，，

由于，从而有，化简得，

即，由于，则有，

令，故有对任意恒成立，

而在上恒成立，

故函数在上单调递增，则函数在处取得最小值，即，

因此，所以，因此的取值范围是.

（1）当时，为单调增区间，当时，为单调减区间， 为单调增区间．

（2）

（3）在第二问的基础上，根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。

试题分析：（1）因为，

①若，则，在上为增函数，2分 ②若，令，得，

当时，；当时，．

所以为单调减区间，为单调增区间． 综上可得，当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．  4分

（2）时，，

，  5分

在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，

由得，

（i），，满足题意；…… 6分

（ii）时，，即；… 7分

（iii）时，，得，故； 综上得：在上有且只有一个极值点时，． ………8分注：本题也可分离变量求得．

（3）证明：由（1）可知：

（i）若，则，在上为单调增函数，

所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意． 9分

（ⅱ）若，在处取得极值．

若，时，由图象知不可能有两个切点．10分

故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），

则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．，，

设切点分别为，则，且

，，，

即   ① ,    ② ,   ③ ,

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，即，12分

令，则，令，因为，，故存在，使得，

即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．14分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于难度题。