热门试卷

（Ⅰ）

（II）证明见解析。

分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根

则有

故有

下图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。

由题意有．．．．．．．．．．．．①

又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

　　　消去可得．

又，且  

(1) ，的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)证明过程见试题解析．

试题分析：(1)利用在处的导数为0，可求k,进而再利用导函数求出的单调区间；(2)由（1）易证不等式在时成立，只需证时，又，易证最大值为,则对任意．

(1)，

由已知，，∴．

由,

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，从而，

当时，从而．

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．

(2)由(1)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立，

当时，＞1，且，∴，

设，，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，

所以，

综上，对任意

（1）（2）当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )（3）见解析

（1）解：∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.

∴.

∴.

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. ………3分

方程（*）的判别式

.………4分

①当时，，方程（*）的两个实根为

 ………5分

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点. ………6分

②当时，由,得或，

若，则

故时，，

∴函数在上单调递增.

∴函数没有极值点.………7分

若时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分

综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. ………3分

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且

至少有一个零点在上. ………4分

令,

得, (*)

则,(**)…………5分

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点. ………6分

②若,则得

又由(**)解得或,

故.………7分

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

（3）∵， ∴.

∴ 

. ………10分

令，

则

.

∵，

∴…11分

12分

.………13分

∴，即. ……………14分

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

………10分

②假设当N时，不等式成立，即，

则

………11分

 ………12分

. ………13分

也就是说，当时，不等式也成立.

由①②可得，对N，都成立. …14分

(1) a=3    (2) 当日产量为90吨时,每日的利润可以达到最大值14300元.

(1)由题意可得

y=

因为x=30时,y=-100,

所以-100=-×303+a×302+270×30-10000,

得a=3.

(2)当0

y=-x3+3x2+270x-10000,

y'=-x2+6x+270.

由y'=-x2+6x+270=0可得:

x1=90,x2=-30(舍),

所以当x∈(0,90)时,原函数是增函数,当x∈(90,120)时,原函数是减函数.

所以当x=90时,y取得最大值14300.

当x≥120时,y=10400-20x≤8000,

所以当日产量为90吨时,每日的利润可以达到最大值14300元.

解：（Ⅰ）.

因为于是.

所以当时，，使＜0

使＞0

当时，时使＞0.

时，使＜0

当时，时,使＞0.

时,使＜0

当时，时,使＞0.

从而的单调性满足：

当时，在上单调增加，在上单调减少；

当时，在上单调增加，在上单调减少；

当时，在上单调增加，在上单调减少；

当时，在上单调增加

（2）由（Ⅰ）知在单调增加，

故在的最大值为，最小值为.    

从而当时，不等式

所以当时，不等式      

略

解：（1）…………………………………………….1分

∵函数在处与直线相切……………………3分

解得………………………………………………………5分     

（2）当b=0时，.若不等式对所有的都成

立，则对所有的都成立，……………….6分

即对所有的都成立，…………. 7分

令为一次函数， 。

上单调递增，，

对所有的都成立………………………………………………10分

……………………………12分         

（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）

略

(Ⅰ)   (Ⅱ)  或

（Ⅰ）由题意，函数的定义域为由 

知对恒成立，记由于函数在上是增函数，故,所以又，所以为所求． 5分

（Ⅱ）由题知，整理得 记，则 注意到，故函数在上单调递减，在上单调递增． 由知， 所以关于的方程在区间上恰有一个实根时或为所求    12分

a∈(e,+∞)

试题分析：分别利用导数求出单调区间与在上的最小值，与给定的在上是单调减函数，且在上有最小值相结合，得出关于的关系式，可得的取值范围．

解：令,

考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,

同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数．

由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1,

令g'(x)=ex-a=0,得．

当时, ;当x>时, ．

又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以,

即a>e．综上,有a∈(e,+∞)．

考点:利用导数求函数的单调区间与最值．

（1）0；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求，再利用判断函数的单调性并求最值；

（2）思路一：由，分，，三种情况研究函数的单调性，判断与的关系，确定的取值范围.

思路二：由，因为，所以

令，，显然，知为单调递减函数，

结合在上恒成立，可知在恒成立，转化为，从而求得的取值范围.

（3）在中令，得时，．将代入上述不等式，再将得到的个不等式相加可得结论.

解证：（1），                       1分

当时，；当时，；当时，；

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；       3分

故.                    4分

（2）解法一：，          5分

当时，因为时，所以时，；         6分

当时，令，．

当时，，单调递减，且，

故在内存在唯一的零点，使得对于有，

也即．所以，当时；      8分

当时，时，所以，当时    9分

综上，知的取值范围是.                10分

解法二：，             5分

令，．

当时，，所以单调递减.           6分

若在内存在使的区间，

则在上是增函数，，与已知不符.    8分

故，，此时在上是减函数，成立．

由，恒成立，而，

则需的最大值，即，，

所以的取值范围是.                         10分

（3）在（2）中令，得时，.     11分

将代入上述不等式，再将得到的个不等式相加，得.             14分