热门试卷

（1）当时，的单调递增区间为；当，的单调递增区间为和；（2）函数不存在“中值相依切线”.

试题分析：（1）当时，分和两种情况分别进行分析，当时, , 显然函数在上单调递增；当时, ，令,解得或;所以当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增；（2）先设是曲线上的不同两点，求出的表达式化简得到：，再经过求导分析得出函数不存在“中值相依切线”.

试题解析：（1）函数的定义域是. 由已知得， 

当时, , 显然函数在上单调递增；

当时, ，令,解得或; 

函数在和上单调递增，

综上所述:①当时,函数在上单调递增；

②当时,函数在和上单调递增；

（2）假设函数存在“中值相依切线”

设是曲线上的不同两点，且，

则，.

曲线在点处的切线斜率  

依题意得： 

化简可得： ， 即= 

设 ()，上式化为：,

.  令,

.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.  所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.

（Ⅰ）；（Ⅱ）实数的取值范围为．

试题分析：（Ⅰ）设函数，若在点处的切线斜率为，用表示，与函数的切线有关，可考虑利用导数来解，对求导，利用，即可得出；（Ⅱ）若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围，即，这样转化为求的最大值，由于含有对数函数，可考虑利用导数来求的最大值，求导得，含有参数，需对参数进行分类讨论，分别求出最大值，验证是否符合题意，从而确定实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ），依题意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

由恒成立，即．  

，

①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；

②当时，，

（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，不符题意；

（2）若，若，，，，单调递减，

这时，不符题意；

若，，，，单调递减，这时，不符题意；

若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；

综上，得恒成立，实数的取值范围为．

（Ⅰ）函数的减区间是,增区间是；

（Ⅱ）的最小值为；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）求出的导数，由的符号确定的单调区间；

（Ⅱ）求出的导数，由在上恒成立求得实数的最小值；（Ⅲ）注意左右两边的自变量是独立的.若存在使成立，则.故首先求出然后解不等式求实数的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）由得, 且,则函数的定义域为,

且,令,即,解得

当且时, ;当时,

函数的减区间是,增区间是                           4分

（Ⅱ）由题意得：函数在上是减函数，

在上恒成立，即在上恒成立

令，因此即可

当且仅当，即时取等号

因此，故的最小值为.                             8分

（Ⅲ）命题“若存在，使，”等价于

“当时，有”，

由（Ⅱ）得，当时，，则，

故问题等价于：“当时，有”，

,由（Ⅱ）知,

（1）当时，在上恒成立，因此在 上为减函数，则,故,

（2）当时，在上恒成立，因此在上为增函数，

则，不合题意

（3）当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即

由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；

所以，

所以，与矛盾，不合题意

综上，得.                                             12分

(1) ;(2) 在内单调递减，内单调递增；

（3） 

试题分析：(1)写出函数的解析式，求导得斜率，求切点，进而得直线方程，注意解析式的取舍（时）；（2）函数为分段函数，分段判单调性，求出函数的单调区间；（3）分和两种情况进行分析，在第二种情况下要对与区间进行比较，又分三种情况进行判断单调性，求最小值

试题解析：（1）当时，，令得，

所以切点为，切线斜率为1，

所以曲线在处的切线方程为： 

（2）当时

当时，，

在内单调递减，内单调递增；

当时，恒成立，故在内单调递增；

综上，在内单调递减，内单调递增．

（3）①当时，， 

，恒成立． 在上增函数．

故当时，

② 当时，，

（）

ⅰ)当，即时，在时为正数，所以函数在上为增函数，

故当时，，且此时 

ⅱ)当，即时，在时为负数，在时为正数，

所以在上为减函数，在为增函数

故当时，，且此时 

ⅲ)当，即时，在时为负数，所以函数在上为减函数，

故当时， 

综上所述，当时，函数在和时的最小值都是 

所以此时函数的最小值为；当时，函数在时的最小值为，而，

所以此时的最小值为 

f′(x)===-．

令f'（x）=0，得x=b-1．

当b-1＜1，即b＜2时，f'（x）的变化情况如下表：

当b-1＞1，即b＞2时，f'（x）的变化情况如下表：

所以，当b＜2时，函数f（x）在（-∞，b-1）上单调递减，在（b-1，1）上单调递增，

在（1，+∞）上单调递减．

当b＞2时，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，b-1）上单调递增，在（b-1，+∞）上单调递减．

当b-1=1，即b=2时，f(x)=-，所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．

（1）f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．

（2）2

(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.

所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．

(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.

故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于

k<＋x(x>0)             ①

令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.

由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．

故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．

设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．

又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k

故整数k的最大值为2.

(1) 不能，理由见解析      (2)  (－29,10)

解：(1)由题意f′(x)＝x2＋ax＋b，

∵a＝2b，∴f′(x)＝x2＋2bx＋b.

若f(x)在x＝－1处取极值，

则f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，

此时f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，

函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x＝－1处取极值矛盾，

故该函数不能在x＝－1处取得极值．

(2)∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，

∴f′(x)＝x2＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根，

∴⇒

⇒

画出不等式表示的平面区域，如图所示，

当目标函数w＝a－4b过N(－5,6)时，

对应的w＝－29；

当目标函数w＝a－4b过M(－2，－3)时，

对应的w＝10.

故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想和转化思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入得到解析式，求将代入得到切线的斜率，再将代入到中得到切点的纵坐标，利用点斜式求出切线方程；第二问，先将问题转化为，进一步转化为求函数的最大值和最小值问题，对求导，通过画表判断函数的单调性和极值，求出最值代入即可；第三问，结合第二问的结论，将问题转化为恒成立，进一步转化为恒成立，设出新函数，求的最大值，所以即可.

试题解析：(1)当时,,,,,

所以曲线在处的切线方程为;         2分

(2)存在,使得成立等价于:,

考察,,

由上表可知:,

,

所以满足条件的最大整数;                       7分

(3)当时,恒成立等价于恒成立,

记，，，

记，，由于，

，所以在上递减，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以.

（1）；（2）.

试题分析：（1）本小题首先代入求得原函数的导数，然后求出切点坐标和切线的斜率，最后利用点斜式求得切线方程；

（2）本小题首先求得原函数的导数，通过导数零点的分析得出原函数单调性，做成表格，求得函数的极大值和极小值，若要有三个零点，只需即可，解不等式即可.

试题解析：（Ⅰ）当时， ；

所以曲线在点处的切线方程为，

即                            6分

（Ⅱ）=.令，解得   8分

因，则 .当变化时，、的变化情况如下表：

则极大值为：，极小值为：，

若要有三个零点，

只需即可，

解得，又 .因此

故所求的取值范围为               13分