热门试卷

（1）在处取得最小值．

（2）函数在上不存在保值区间,证明见解析.

试题分析：（1）求导数，解得函数的减区间；

解，得函数的增区间．

确定在处取得最小值．

也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值（最值）” .

（2）函数在上不存在保值区间.

函数存在保值区间即函数存在自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同.因此，可以假设函数存在保值区间,研究对应函数值的取值区间.在研究函数值取值区间过程中，要么得到肯定结论，要么得到矛盾结果.本题通过求导数：，明确时， ，得到所以为增函数，因此

转化得到方程有两个大于的相异实根，构造函数 后知其为单调函数，推出矛盾，作出结论.

试题解析：

（1）求导数，得．

令，解得．                     2分

当时，，所以在上是减函数；

当时，，所以在上是增函数．

故在处取得最小值．      6分

（2）函数在上不存在保值区间,证明如下：

假设函数存在保值区间,

由得：

因时， ，所以为增函数，所以

即方程有两个大于的相异实根      9分

设 

因，，所以在上单增

所以在区间上至多有一个零点          12分

这与方程有两个大于的相异实根矛盾

所以假设不成立，即函数在上不存在保值区间.      13分

（1）单调递增函数；（2）；（3）

试题分析：（1）首先确定函数的定义域是，再求导数＝，依题设中的条件判断的符号，从而得到在定义域内的单调性；

（2）由于＝＝，根据参数对导数的取值的影响，恰当地对其分类讨论，根据在上的单调性，求出含参数的最小值表达式，列方程求的值， 并注意检查其合理性；

（3）由于

令，则可将原问题转化为求函数的最大值问题，可借助导数进行探究.

试题解析：.解：（1）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…（2分）

∵a＞0，

∴f'（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　 …（4分）

（2）由（1）可知，f′（x）=．

（1）若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，

∴[f（x）]m1n=f（1）=﹣a=，

∴a=﹣（舍去）　…（5分）

（2）若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴[f（x）]m1n=f（e）=1﹣（舍去）…（6分）

（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数，f（x）在（﹣a，e）上为增函数，

∴[f（x）]m1n=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴[f（x）]m1n=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴a=﹣．…（8分）

（3）

又          9分

令

时，

在上是减函数             10分

即在上也是减函数，

所以，当时，在上恒成立

所以.               12分

（I）见解析（II）

（I）令，

即为增函数，即为减函数，

故，为减函数，

（II）

下面证明，

综上

直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答。

【考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用。

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求得，令，得或，因为要考虑根与定义域的位置关系，故需讨论n的取值．当时，，此时，函数单调递减；当时，，将定义域分段，并考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象，进而求最大值，从而求得；（2）由（1）得，将所求证不等式等价变形为，，再利用二项式定理证明；（3）由（2）得，，再将不等式放缩为可求和的数列问题处理．

（1）

，

当时，由知或，         

当时，则，时，，在上单调递减，

所以

当时，，时，，时，，

∴在处取得最大值，即，

综上所述，.

（2）当时，要证，只需证明

∵

∴,所以，当时，都有成立．

（3）当时，结论显然成立；

当时，由（II）知

．

所以，对任意正整数，都有成立．                    13分

(1) x1=是极大值点,x2=是极小值点   (2) 0

f'(x)=.

(1)当a=时,若f'(x)=0,则4x2-8x+3=0x1=,x2=,则

∴x1=是极大值点,x2=是极小值点.

(2)记g(x)=ax2-2ax+1,则

g(x)=a(x-1)2+1-a,

∵f(x)为[,]上的单调函数,

则f'(x)在[,]上不变号,

∵>0,

∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈[,]恒成立,

又g(x)的对称轴为x=1,故g(x)的最小值为g(1),最大值为g().

由g(1)≥0或g()≤00,

∴a的取值范围是0.

（1）；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的计算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的最值、基本不等式等基础知识，考查分类讨论思想和转化思想，考查学生的计算能力、转化能力和逻辑推理能力.第一问，先对求导，再讨论方程的判别式，第一种情况，第二种情况且，第三种情况且，数形结合判断函数在定义域上是否有最值；第二问，由于在与处的切线互相平行，所以2个切线的斜率相等，得到关系式，利用基本不等式和不等式的性质证明结论.

试题解析：（1），

由知，

①当时，，在上递增，无最值；

②当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值；

③当时，有一正根，在上递减，在上递增；此时，有最小值；

所以，实数的范围为.    7分

（2）证明：依题意：，

由于，且，则有

.    12分

（1）时，有2个零点；时，有1个零点；时没有零点；（2）证明详见解析.

试题分析：（1）先求导，求出极值点，然后分类求出函数的零点个数.（2）首先用函数的零根表示出a，，即，=，然后代入中，整理得，设，则，，通过导数求的值域大于0即可得证.

试题解析：（1），则x=是极大值点，函数 极大值，（0， ）是单调增区间，（ ，+）是单调减区间；(1)当，即时，有2个零点；(2)当，即时，有1个零点；(3)当，即时没有零点；

（2）由得

=，令，设，

则，又，，

即，又，。

(I) a=0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a<0时，f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)证明详见解析.

试题分析：(I)首先求出原函数的导数，然后分类求出>0或<0的解集，最后根据导数的性质，得出结论即可.(Ⅱ)由已知可知有解，构造函数 ，求导，利用基本不等式判断导数的符号，确定函数 的单调性，求出最大值即可.(Ⅲ) 首先确定公共定义域（0，+），，然后构造函数和利用导函数的性质求出它们的单调性，极值点和极值，即可确定最值，求得

.

试题解析：(I)f（x）的定义域是（0，+），.

1.当a=0时，>0，所以f（x）在（0，+）上单调递增；

2.当a<0时，由=0，解得，则时，>0，所以f（x）在上单调递增；时，<0，所以f（x）在上单调递减.

综上所述，a=0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a<0时，f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减.

(Ⅱ) 由题意有解，即有解，

因此只需有解即可.

设 ，则

因为，且时，.

所以<0，即<0，

故h（x）在单调递减，

所以h（x）

(Ⅲ)当a=0时，，f（x）与g（x）的公共定义域为，，

设，则，在上单调递增，所以.

又设则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以x=1为函数的极大值点，即，故.

即公共定义域内任一点差值都大于2.

（1）函数的定义域为                           ————1分

令 解得：                              ————4分

时，。此时函数单调递减。

时，。此时函数单调递增。         ————6分

（2）                           

由题意可知， 时，恒成立。            ————9分

即

由（1）可知，                     ————11分

由可得

即                                        ————13分

略