热门试卷

（1）当m=1时，f（x）=-x3+x2，f′（x）=-x2+2x，故f′（1）=1．

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．

（2）f′（x）=-x2+2x+m2-1．

令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．

因为m＞0，所以1+m＞1-m．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．

函数的极小值为：f（1-m）=-m3+m2-；

函数的极大值为：f（1+m）=m3+m2-．

（1），；（2）证明详见解析；（3）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先对求导，由于在x=1处有极值，则，，列出方程组，解出b和c的值，由于得到了两组值，则需要验证看是否符合已知条件，若不符合需舍掉；第二问，可以利用二次函数图象和性质直接证明，也可以利用反证法证明出矛盾，从而得到正确结论；第三问，结合第二问的结论，可以直接得到时的情况，当时需分，，三种情况讨论，最后综合所有情况再得出结论.

试题解析：（1） ∵，由在处有极值，可得

，解得，或           2分

若，，则，此时函数没有极值； 3分

若，，则,此时当变化时，，的变化情况如下表：

∴ 当时，有极大值，故，即为所求。           4分

（2）证法一：

当时，函数的对称轴位于区间之外

∴ 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个

∴ ，即     8分

证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

∴ 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个，

假设，则，将上述两式相加得:          6分

,得，产生矛盾，

∴                                                         8分

（3）

（ⅰ）当时，由（2）可知；                                         9分

（ⅱ）当时，函数的对称轴位于区间之内，

此时，由，有

①若，则，则，

于是

                                            11分

②若，则，则

于是       13分

综上可知，对任意的、都有

而当，时，在区间上的最大值 ，故对任意的、恒成立的的最大值为。                                              14分

(1)；（2）证明见解析.

试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；

（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1），对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.

试题解析：（1）由已知，

，

所以，，

故.

（2）由（1）得，

两边求导可得，

类似可得，

下面我们用数学归纳法证明对一切都成立，

（1）时命题已经成立，

（2）假设时，命题成立，即，

对此式两边求导可得，

即，因此时命题也成立.

综合（1）（2）等式对一切都成立.

令，得，

所以.

【考点】复合函数的导数，数学归纳法.

（1）（1）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时,在上是增函数；（iii）当时，在是上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）详见试题分析．

试题分析：（1）首先求函数的定义域，的导数：，再分，，三种情况，讨论函数的单调性；（2）先在（1）的基础上，当时，由的单调性得．同理当时，由的单调性得．下面再用数学归纳法证明．

（1）的定义域为．

（1）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．

（2）当时,成立当且仅当在上是增函数．

（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．

（2）由（1）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（1）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．

（1）当时，由已知，故结论成立；

（2）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（1）、（2）知对任何结论都成立．

（1）      b=2a

（2）见解析

（1）因为

又因为曲线通过点（0，2a+3）,

故

又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故

即-2a+b=0,因此b=2a.

（2）由（1）得

故当时，取得最小值-.

此时有

从而

所以

令，解得

当

当

当

由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）、（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.

（1）在处取得极小值.（2）.

试题分析：（1）求导数，解得函数的减区间；解，得函数的增区间．

确定在处取得最小值．

也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值（最值）” .

（2）遵循“求导数、求驻点、确定函数的单调性”明确函数的单调区间.

应用零点存在定理，建立不等式组，解之即得.

试题解析：（1）的定义域是，，得        3分

时，，时，，

所以在处取得极小值         6分

（2）

所以，令得

所以在递减，在递增         9分

         11分

所以         13分

（1）（2）或．   （3）的最小值为．

试题分析：

（1）利用导数可以求解函数单调性得到极值与最值,但是函数含有参数,故而需要讨论,首先对函数求定义域，求导可以发现导函数的分母恒大于0不影响导函数符号,故考虑分子大于0,小于0的解集,讨论a的范围得到区间的单调性,分析就可以得到原函数在固定区间上的最值.

（2）设出切点坐标,利用切点满足的三个条件（①切点在原函数上，坐标满足原函数方程 ②切点在切线上，坐标满足切线方程 ③原函数在切点处的导数为切线的斜率）建立关于a的方程，解方程求出a的值.

（3）由（2）的结论得到此时直线为曲线的切线,且分析原函数与切线的图像可以发现曲线在直线下方,即可以发现在区间上不等式恒成立,作差即可严格证明该不等式是成立的.利用该不等式对放缩为可求和的式子,进而求的的最值,得到的取值范围与最值.

试题解析：

（1），              2分

令，解得（负值舍去），

由，解得．

（ⅰ）当时，由，得，

在上的最大值为．              3分

（ⅱ）当时，由，得，

在上的最大值为．             4分

（ⅲ）当时，在时，，在时，，

在上的最大值为．         5分

（2）设切点为，则             6分

由，有，化简得，

即或， ①

由，有，②

由①、②解得或．                 9分

（3）当时，，

由（2）的结论直线为曲线的切线，

，点在直线上，

根据图像分析，曲线在直线下方．         10分

下面给出证明：当时，．

，

当时，，即．          12分

，

， ．

要使不等式恒成立，必须．         13分

又当时，满足条件，

且，

因此，的最小值为．            14分

（1）的单调增区间为，单调减区间为.

（2）

（3））

试题分析：解：（1），，

，故.

当时，；当时，.

的单调增区间为，单调减区间为.……3分

（2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；

易知当时，且不恒为0.

故.……7分

（3）当时，，，故在上，即函数在上单调递增，.……9分

而“存在，对任意的，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”.

而在上的最大值为中的最大者，记为.

所以有，，

.

故实数的取值范围为.……13分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于中档题。

（1）;（2）①当时，；②当时，

③当时，;（3）详见解析．

试题分析：（1）根据题意首先由点在曲线上，运用待定系数的方法求出，再由切线与导数的关系即可求出切线方程为;（2）对函数求导可得：，分析m对导数的影响，可见要进行分类讨论：①当时，，所以函数在上单调递增，利用单调性可求出最大值;②当，即时，，所以函数在上单调递增，利用单调性可求出最大值;③当，即时，导数有下有负，列表可求出函数的最大值;④当，即时，，所以函数在上单调递减，利用单调性可求出最大值;（3）显然两零点均为正数，故不妨设，由零点的定义可得：，即，观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得：，现在我们要证明，即证明，也就是．又因为，所以即证明，即．由它的结构可令＝t，则，于是．构造一新函数，将问题转化为求此函数的最小值大于零，即可得证．

试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得．

因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．             3分

（2）因为．

①当时，，所以函数在上单调递增，则．

②当，即时，，所以函数在上单调递增，则                              5分

③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，

则．                                      7分

④当，即时，，所以函数在上单调递减，则               9分

综上，①当时，；

②当时，

③当时，．                        10分

（3）不妨设．因为，所以，

可得．

要证明，即证明，也就是．

因为，所以即证明，即．               12分

令＝t，则，于是．

令，则．

故函数在上是增函数，所以，即成立．

所以原不等式成立．                                              16分