热门试卷

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（1）利用导数即可求得的最值；

（2）联系（1）题，可将变形为，这样等式左边即为时的，右边又看作一个函数，将两个函数的图象作出来，结合图象可知，要使得这个方程有两个不同解，只需.

试题解析：（1），定义域为，，令，解得.

当时，；当时，，所以；

（2）由（1）可知在时，取得最大值，

，

令，要让方程有两个不同解，结合图像可知：，

即，解得．

（1）；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、分类讨论、特殊与一般等数学思想方法.第一问，将在上恒成立，转化为恒成立，设出新函数，求导数，判断导数的正负，确定函数的单调性，但是导数中含参数，所以需讨论方程的根与1的大小；第二问，借助第一问的结论，取，即可得到所证不等式左边的形式，令，累加得，得出左边的式子，右边利用题中题供的公式化简.

试题解析：（1）令在上恒成立

当时，即时

在恒成立．在上递减．

原式成立．

当即时

不能恒成立．

综上：                               6分

(2) 由 (1) 取有

令

∴化简证得原不等式成立．                       12分

（I）；（II）三角形面积的最大值为16.

试题分析：（I）用待定系数法.由抛物线的对称性及题设可知，函数的对称轴为，顶点为.

将顶点坐标及点（0，0），（0，6）的坐标代入解析式得关于a,b,c方程组，解此方程组，便可得 的解析式.

（II）用三角形面积公式求得三角形的面积与t之间的函数关系式，然后利用导数可求得的面积为，求的最大值.

试题解析：（I）由已知可得函数的对称轴为，顶点为.              2分

方法一：由  

得                                    5分

得                               6分

方法二：设                             4分

由，得                                      5分

                                     6分

（II）              8分

                       9分 

列表得：

                 11分

由上表可得时，三角形面积取得最大值

即                  13分

（1）函数的单调增区间为

（2）当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值

试题分析：解：（1）由题意，函数的定义域为     2分

当时，，    3分

令，即，得或    5分

又因为,所以，函数的单调增区间为   6分

（2）   7分

解法一：令，因为对称轴，所以只需考虑的正负，

当即时，在（0，+∞）上，

即在（0，+∞）单调递增，无极值    10分

当即时，在（0，+∞）有解，所以函数存在极值.…12分

综上所述：当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值.…14分

解法二：令即，记

当即时，，在（0，+∞）单调递增，无极值    9分

当即时，解得：或

若则，列表如下：

由上表知：时函数取到极小值，即函数存在极小值。  11分

若，则，在（0，+∞）单调递减，不存在极值。  13分

综上所述，当时，函数存在极值，当时。函数不存在极值   14分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，判定函数单调性以及函数极值，属于基础题。

（1）,（2）.

试题分析：（1）利用导数求值域，分四步，第一明确定义域：，第二求导数零点: ,令，得,第三列表分析单调性：

第四根据区间端点及极值点确定值域：，又，所以函数的值域为，（2）恒成立问题，一般转化为最值问题：.而，,由于，故当时，，所以所以在上恒成立，设，，令得，又>，所以,所以.

试题解析：（1），令，得，

所以，又，所以函数的值域为    6分

（2）依题意，    8分

而，，由于，故当时，，

所以，    10分

所以在上恒成立，设，

，令得，    12分

又>，所以，    14分

所以    16分

（1）f(x)在x＝e1－a处取得极大值，f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值

（2）[1，＋∞)

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，

令f′(x)＝0得x＝e1－a，

当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，

∴f(x)在x＝e1－a处取得极大值，f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．

(2)①当e1－a2时，即a>－1时，

由(1)知f (x)在(0，e1－a)上是增函数，在(e1－a，e2]上是减函数，

∴f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1，

又当x＝e－a时，f(x)＝0，

当x∈(0，e－a]时，f(x)<0；当x∈(e－a，e2]时，f(x)>0；

∵f(x)的图象与g(x)＝1的图象在(0，e2]上有公共点，

∴ea－1≥1，解得a≥1，又a>－1，所以a≥1.

②当e1－a≥e2时，即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，

∴f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2)＝，

所以原问题等价于≥1，解得a≥e2－2.

又a≤－1，所以此时a无解．

综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

（1）；（2）.

试题分析：（1）先求导函数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是其最小值；

（2）根据不等式的解集为，且，可转化成对任意的，不等式恒成立.即对任意的恒成立，分离参数得，令，利用导数研究的最小值，使即可．

试题解析：（1）令，解得；令，解得 .

从而在内单调递减，内单调递增.所以，.

（2）因为不等式的解集为，且，

所以，对任意的，不等式恒成立，

由得.当时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.

将变形得，令，.

令，解得；令，解得

从而在内单调递减，在内单调递增.所以，当时，取得最小值，从而所求实数的取值范围是.

（1），所以直线的方程为，直线的方程为；

（2）详见解析；（3）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先确定函数、的图象与坐标轴的交点，利用相应的图象在交点处的切线平行列出有关的方程求解出的值，然后在确定两个函数图象与坐标轴的交点，利用导数求出直线、的方程；

（2）利用的性质，引入函数，从而将化为，构造新函数，，问题转换为进行处理；（3）将等价转化为，构造新函数，将问题转化为进行处理，结合导数来求函数的最小值，在判断导数的符号时，可以结合基本不等式来处理.

试题解析：（1）对于函数而言，，函数的定义域为，

故函数与轴无交点，因此函数与轴有交点，

令，解得，，，

，，即函数的图象与轴无交点，与轴有交点，

且，，

由题意知，，即，解得，因为，所以，

，，，，，，

所以直线的方程为，即，

直线的方程为，即；

（2）函数与的公共定义域为，

在同一坐标系中画出函数，和函数的图象，易知当时，，

，

令，，其中，

，故函数在上单调递增，所以，

，令，解得，

当时，，当时，，

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，，

，证毕！

（3）问题等价于“存在使得成立”“存在使得成立”，其中，

令，则有，则函数的定义域为，

，故函数在上单调递减，所以，

因此，故实数的取值范围是.