热门试卷

（1）因为f（x）=x+-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1--==，

①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．

②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．

③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．

综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．

③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．

（2）当a=1时，f（x）=x+-lnx(x＞0)．

由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（2）=3-ln2．

因为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，

所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）min≥g（x）恒成立，

即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，

即2b≥x+对于任意x∈[1，e]恒成立，

因为函数y=x+的导数y′=1-≥0在[1，e]上恒成立，

所以函数y=x+在[1，e]上单调递增，所以(x+)max=e+，

所以2b≥e+，所以b≥+，

故实数b的取值范围为[+，+∞）．

（1）f'（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e2-x

由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x2+ax+2a-3）e2-x

由于x=-1是f（x）的极值点，故x1≠x2，即a≠4

①当a＜4时，x2＞x1，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）

的单调减区间．…（4分）

②当a＞4时，x2＜x1，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）

（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，

f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e3，e4]…（8分）

假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e3＞e4-（a-2）e3恒成立，

即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）

令g（a）=（m+3）a-e-1，

则有，解得，即m≤-4-e

故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分）

（1）-990

（2）①，②()

（3）当时，函数不存在零点，

当时，函数有且只有一个零点，

当时，即函数有且只有两个零点.

试题分析：解：（Ⅰ）

（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①，②()

证明：①当时，左边，右边，等式成立；

当时，左边

因此，()成立.

②当时，左边右边，等式成立；

当时，左边

=右边

因此，()成立.

(Ⅲ）

设函数，

则函数零点的个数等价于函数与公共点的个数.

的定义域为

令，得

∴当时，函数与没有公共点，即函数不存在零点，

当时，函数与有一个公共点，即函数有且只有一个零点，

当时，函数与有两个公共点，即函数有且只有两个零点.

点评：主要是考查了函数零点的求解以及组合数和排列数公式的运用，属于中档题。

（1） ；（2）分析法。

试题分析： 

，要证，即证，

令， ，

， 在，   

点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，证明不等式，往往通过构造函数，确定函数的最值，达到证明目的。本题利用分析法，将问题做了进一步的转化，实现了化难为易。

见解析

（1）.

(2) 由(1)知，其中令，对求导数得.

= 在上恒成立．故即在上为增函数，故进而知在上为增函数，故,

当时，显然成立．

于是有在上恒成立．

(3) 由(2)可知在上恒成立． 则在上恒成立．即在单增, 于是

略

（Ⅰ）  （Ⅱ）     （IV）

（Ⅰ）∵对任意实数，

∴，

即恒成立，，    ，

时，取极小值，解得，      ∴所求的函数解析式即为；                           ……4分

（Ⅱ）由已知，，    ∴在区间上的最小值为，

依题意恒成立，∴，

解得即为所求的范围；                                                     …………7分

（Ⅲ）假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别，

且，、，，矛盾，故假设不成立，

∴当时，图象上不存在这样的两点使结论成立；               …………10分

（IV）设切点为P，切线方程则为，

且，消去得，

∴，∴，，

即切点为（3，6），∴所求的切线方程为； …………14分

零售价定为每件元时，有最大毛利润为元．

试题分析：根据题意可知，毛利润销售收入进货支出，则毛利润与零售价的函数关系为，再利用导数求出函数的最大值．

试题解析：由题意知

．

令，得或（舍）．

此时．

因为在附近的左侧，右侧，

是极大值．

根据实际意义知，是最大值，即零售价定为每件元时，有最大毛利润为元．