热门试卷

（Ⅰ）切线方程为；（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）求函数的图像在处的切线方程，首先求出函数的解析式，而已知若时，函数取得极值，因此先求出数的导函数，令导函数在处的值为，求出的解析式，将代入求出切点坐标，将代入导函数求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（Ⅱ）若函数在区间内不单调，即函数在区间有极值，即导函数在区间上有解，令导函数为，分离出得，求出在上的范围，从而得实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ） 由得

∴  当时， 即切点

令得∴切线方程为；

（Ⅱ）在区间内不单调，即在有解，所以，，由，，令，，知在单调递减，在，所以，即，，即，而当时，∴舍去  综上

（Ⅰ）；（Ⅱ）当，的单调增区间；当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）求出导数及切点，利用直线的点斜式方程即可得切线方程.

（Ⅱ）将求导，利用求得其递增区间，求得其递减区间.

在本题中，，由得：.当, 的单调增区间；

当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

（Ⅲ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数有什么关系？待证不等式可做如下变形： ，最后这个不等式与有联系吗？我们往下看.

,所以在上是增函数.

因为，所以

即从这儿可以看出，有点联系了.同理，

所以，

与待证不等式比较，只要问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证.

试题解析：（Ⅰ），，所以切线为：即  3分

（Ⅱ），

，     4分

，,        5分

当，的单调增区间；     6分

当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.  8分

（Ⅲ）,所以在上是增函数, 上是减函数

因为，所以

即,同理.

所以

又因为当且仅当“”时，取等号.

又，,

所以,所以，

所以：.     14分

⑴单调递增区间为，单调递减区间⑵实数的取值范围是

试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值.

试题解析：(1) 由于，所以

.       (2分)

当，即时，；

当，即时，.

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为.                         (6分)

(2) 令，要使总成立，只需时.

对求导得，

令，则，()

所以在上为增函数，所以.                       (8分)

对分类讨论：

① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；

② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；

③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.

综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                    (12分)

(1) x－4y＋4ln 2－4＝0   (2) 当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；

当0

当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.

解：(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，

所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．

因此f′(2)＝.

即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.

又f(2)＝ln 2－，

所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－＝ (x－2)，

即x－4y＋4ln 2－4＝0.

(2)因为f(x)＝＋ln x－1，

x∈(0，＋∞)，

所以f′(x)＝－＋＝.

令f′(x)＝0，得x＝a.

①若a≤0，则f′(x)>0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．

②若0

当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，

所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.

③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，

所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.

综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；

当0

当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.

（1），；（2）2．

试题分析：（1）当时，得到，求其导函数，列表得到函数的单调区间，进而可得函数的极值；（2）由函数求导，得到，，再由与轴有且仅有一个公共点，得到，利用基本不等式，即可得到的最小值．

试题解析：（1）

令，，

，．

（2），

，

．

法一：令，

令

又则，

当时，

当时，，．

法二：，

“”，．

(1) 函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，；(2) 实数的取值范围；(3) 详见解析．

试题分析：（1）若，求函数的单调区间，由于含有对数式，可求出导数，在定义域内解不等式，即得函数单调区间；（2）恒成立，这是恒成立求参数范围，常采用分离常数法，故本题分离出参数后变为恒成立，构造函数，则问题转化为，利用导数可求得，从而得实数的取值范围；（3）证明：，由已知，可得，进而可变形为，只需证明，设，其中，用导数可判断，又，可得结论．

试题解析：(1)当时，函数，

则．

当时，，当时，1，

则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，．    4分

(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．        8分

(3)，．

因为对任意的总存在，使得成立，

所以，  即，

即

．              12分

设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．

所以，即．         14分

（Ⅰ）的单调递增区间为，；单调递减区间为；极大值为；极小值为； （Ⅱ）切线的方程为：．

试题分析：（Ⅰ）注意，的定义域为（）.将代入，求导得：.由得，或，由得，由此得的单调递增区间为，；单调递减区间为，进而可得极大值为；极小值为. （Ⅱ）求导，再用重要不等式可得导数的最小值，即切线斜率的最小值：，由此得.由，即得，所以切点为，由此可得切线的方程．

试题解析：（Ⅰ）的定义域为（）时，                1分

当时，            2分

由得，

由得，或，由得，   3分

∴的单调递增区间为，；单调递减区间为    5分

∴极大值为；极小值为          7分

（Ⅱ）由题意知  ∴        9分

此时，即，∴，切点为，          11分

∴此时的切线方程为：．                13分

（I）极大值，极小值.

（Ⅱ）当函数在区间上为单调递增时，或．

（Ⅲ）曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．

试题分析：（I）求极值一般遵循“求导数、求驻点、讨论区间的导数值正负、计算极值”.

（Ⅱ）函数在区间上为单调递增，因此，其导函数为正数恒成立，据此建立的不等式求解.

应注意结合的不同取值情况加以讨论.

（Ⅲ）通过确定函数的极大值、极小值点,, 并确定的中点.

设是图象任意一点,由，可得，

根据，可知点在曲线上，作出结论.

本题难度较大，关键是能否认识到极大值、极小值点,的中点即为所求.

试题解析：（I），，

当时，，

令得.

在分别单调递增、单调递减、单调递增，

于是，当时，函数有极大值，时，有极小值.

------4分

（Ⅱ），若函数在区间上为单调递增，

则在上恒成立，

当，即时，由得；

当，即时，，无解；

当，即时，由得．

综上，当函数在区间上为单调递增时，或．    10分

（Ⅲ），，

令，得，

在区间，，上分别单调递增，单调递减，单调递增，

于是当时，有极大值；

当时，有极小值．

记,, 的中点,

设是图象任意一点,由，得，

因为

，

由此可知点在曲线上，即满足的点在曲线上．

所以曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．          14分

（1）y′=3ex+sinx+xcosx；

（2）y′=(lnx+ax2+bx)′=+2ax+b，

∵y′|x=1=0，y′|x=2=0，

∴⇒．