热门试卷

（1）详见解析；（2）的最小值为1，相应的x值为1；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）当时,，当，，因此要证在上是增函数，只需证明在上有，而这是显然成立的，故得证；（2）由（1）中的相关结论，可证当时，在上是增函数，在上的最小值即为；（3）可将不等式变形为，因此问题就等价于当时，需满足，利用导数求函数在上的单调性，可知在上为增函数，故，即的取值范围是．

（1）当时,，当，，

故函数在上是增函数                 2分；

（2）,当,，

当时，在上非负(仅当，时，)，

故函数在上是增函数,此时.

∴当时,的最小值为1,相应的值为1.         5分；

（3）不等式,可化为.

∵， ∴且等号不能同时取,所以,即，

因而()，

令(),又，

当时，，，

从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数，

故的最小值为,所以的取值范围是.        10分.

（1）；（2）函数的单调增区间为，单调减区间为.

试题分析：（1）先求出导函数，进而根据导数的几何意义得到所求切线的斜率，再确定切点的坐标，从而可根据点斜式写出直线的方程并将此方程化成一般方程即可；（2）分别求解不等式、即可确定函数的单调增减区间.

（1）由题意

所以函数在点处的切线方程为，即        6分

（2）令，解得

令，解得

故函数的单调增区间为，单调减区间为        13分.

（1）（2）或

试题分析：（1）先求导，因为为二次函数，所以对于任意实数，恒成立，即恒成立。所以此二次函数的图像应开口向上，判别式小于等于0。（2）分别解得函数的单调性和极值。画图分析可知要使只有一个根则应极大值小于0或极小值大于0.

试题解析：解：(1) ,      2分

因为,,  即 恒成立,           4分

所以 , 得，

即的最大值为          6分

(2) 因为 当时, ;当时, ;

当时, ;      8分

所以 当时,取极大值 ;

当时,取极小值 ;       10分

故当 或时, 方程仅有一个实根.

解得 或.     14分

（1）时，为单调增区间；时，为单调递减区间，为单调递增区间；时，单调递减区间为：， 单调递增区间为：和；时，单调递增区间为：.

（2）不存在.证明详见解析.

试题分析：（1）先求导，然后根据导数的性质：的解集是区间，的解集是减区间求解即可.

(2)先求导可得，假设存在假设存在区间，使得当时函数的值域为，即，所以是，[m,n]为增区间，

由g（m）和g（n）的值可得方程有两个大于的相异实根，再构造函数，求，根据导函数的性质，求函数单调区间和极值，证明h（x）在只存在一个零点即可.

试题解析：（1）    1分

①当时，由恒成立，在上单调递增    2分

②当时，解得或

（ⅰ）若，则

在上单调递减，在上单调递增    4分

（ⅱ）若，则 

在和上单调递增，

在上单调递减    6分

综上所述：当时，的单调递减区间为：，

单调递增区间为：；

当时，的单调递减区间为：

单调递增区间为：和；

当时，单调递增区间为：.    7分

(2)由题意，    8分

假设存在区间，使得当时函数的值域为，即，

当时，在区间单调递增   9分

，即方程有两个大于的相异实根    10分

设，

    11分

设

，，在上单调增，又，即存在唯一的使.   12分

当时，，为减函数；当时，，为增函数；在处取到极小值.又   13分

在只存在一个零点，与方程有两个大于的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以不存在符合题意.          14分

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）将代入，求导即得；（Ⅱ），即在上恒成立. 不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，设，则，这里面不含参数了，求的最大值比较容易了，所可直接求最大值.（Ⅲ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数有什么关系？待证不等式可作如下变形：

，最后这个不等式与有联系吗？我们再往下看.

,所以在上是增函数.

因为，所以

即从这儿可以看出，有点联系了.

同理，

所以，

与待证不等式比较，只要问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证.

试题解析：（Ⅰ），，所以切线为：即.         3分

（Ⅱ）,，即在上恒成立

设，，时，单调减，单调增，

所以时，有最大值.，

所以.         8分

法二、可化为.

令，则，所以

所以.

（Ⅲ）当时，,,所以在上是增函数，上是减函数.

因为，所以

即，同理.

所以

又因为当且仅当“”时，取等号.

又，,

所以，所以，

所以：.         14分

（1）当时，有极小值，无极大值.

（2）见解析.（3）见解析.

试题分析：（1）由，得.

从而.

令，得驻点.讨论可知：

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

当时，有极小值，无极大值.

（2）令，则.

根据，知在R上单调递增，又，

当时，由，即得.

（3）思路一：对任意给定的正数c，取，

根据.得到当时，.

思路二：令，转化得到只需成立.

分，，应用导数研究的单调性.

思路三：就①，②，加以讨论.

试题解析：解法一：

（1）由，得.

又，得.

所以，.

令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以当时，有极小值，

且极小值为，

无极大值.

（2）令，则.

由（1）得，，即.

所以在R上单调递增，又，

所以当时，，即.

（3）对任意给定的正数c，取，

由（2）知，当时，.

所以当时，，即.

因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.

解法二：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）令，要使不等式成立，只要成立.

而要使成立，则只需，即成立.

①若，则，易知当时，成立.

即对任意，取，当时，恒有.

②若，令，则，

所以当时，，在内单调递增.

取，

，

易知，，所以.

因此对任意，取，当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.

解法三：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）①若，取，

由（2）的证明过程知，，

所以当时，有，即.

②若，

令，则，

令得.

当时，，单调递增.

取，

，

易知，又在内单调递增，

所以当时，恒有，即.

综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.

见解析

试题分析：求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．

解：定义域{x|x＞0}

f′（x）==

设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）

①若a=1，则g（x）=1＞0

∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．

②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，

此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0

方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根

不等的实根为x1=，x2=

且x1＜0＜x2

∴在（0，）上g（x）＞0，

即f'（x）＞0，f（x）是增函数；

在（，+∞）上g（x）＜0，

即f'（x）＜0，f（x）是减函数；

③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，

此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）

可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，

即f'（x）≥0，f（x）是增函数；

当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根

不等的实根满足＞＞0

故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，

即f'（x）＞0，f（x）是增函数；

在（，）上g（x）＜0，

即f'（x）＜0，f（x）是减函数．

点评：本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．

(1)在内有唯一零点;在内无零点.(2) 在有最大值;在的最小值.(3)详见解析.

试题分析：(1)首先求导确定在、内的单调性，然后根据零点判定定理确定的零点情况； (2)求导得，所以 在有最大值,又是在内的一个零点，所以在的最大值为.再由(1)的结论知在的最小值应为.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知时,有,即

 ，得，再将左右两边放缩相加即得.

(1)在有唯一零点,易知在单增而在

内单减,且,故在和内都至多有一个零点.

又,

故在内有唯一零点;

再由知在内无零点.

(2)由(1)知在有最大值,

故在有最大值;

再由(1)的结论知在的最小值应为.

由知,于是在的最小值.

(3)由(2)知时,有,即

                      ①

取,则且,将的值代入①中,可得

             ②

再由,得

                ③

相仿地,时,,故

            ④

而时④即,显然也成立.故原不等式成立.

（1）；（2）.

试题分析：(1),先求其导数，令,求出其导数为0的值，然后判断两侧的单调性是否发生改变，求出极值点，让极值点落在,即可求出的范围；

(2)首先代入求出函数,是负数，所以讨论当,的情况;恒有,设,求,设,由来确定的范围，来确定的正负，即的正负，从而确定的单调性，如果恒成立，只需的最大值小于0，从而求出a的范围.

试题解析：（1）由题意，

所以                2分

当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以，得．即实数的取值范围是．     4分

（2）由题可知,，因为,所以.当时,,不合题意.

当时,由,可得.   6分

设,则.

设，.           8分

(1)若,则，，，所以在内单调递增，又所以.所以符合条件.           10分

(2)若,则,,,所以存在,使得,对.则在内单调递减,又,所以当时,,不合要求.

综合(1)(2)可得.                12分