热门试卷

（Ⅰ）切线方程为. 

（Ⅱ）当时，的单调增区间是和，单调减区间是；

当时，的单调增区间是；

当时，的单调增区间是和，单调减区间是.

（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）切线的斜率，等于在切点的导函数值.

（Ⅱ）通过“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”，确定函数的单调区间。本题应特别注意讨论，，时的不同情况.

（Ⅲ）在区间上恒成立，只需在区间的最小值不大于0.

试题解析：（Ⅰ）因为，,

所以,                                1分

，,                                         3分

所以切线方程为.                                        4分

（Ⅱ）,                5分

由得,                                      6分

当时，在或时，在时,

所以的单调增区间是和，单调减区间是；         7分

当时，在时，所以的单调增区间是；   8分

当时，在或时，在时.

所以的单调增区间是和，单调减区间是.         10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在区间上只可能有极小值点，

所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，             12分

即有且,

解得.                                14分

(1)；(2) ；(3)见解析.

试题分析：(1)先有已知条件写出的解析式，然后求导，根据导数与函数极值的关系得到，解得的值；(2)由构造函数，则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根，对函数求导，根据函数的单调性与导数的关系找到函数的单调区间，再由零点的存在性定理得到，解不等式组即可；(3)证明不等式，即是证明，即.对函数求导，利用导数研究函数的单调性，找到其在区间上的最大值，则有成立，那么不等式得证.

试题解析：(1) 由题意知则，   2分

∵时， 取得极值，∴，故，解得．

经检验符合题意．                                                       4分

(2)由知

由 ，得，                          5分

令，

则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根． ，         7分

当时，，于是在上单调递增；

当时，，于是在上单调递减．依题意有

，即，　．9分

(3) 的定义域为，由(1)知，

令得，或 (舍去)，                 11分

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减．　　∴为在上的最大值．

∴，故 (当且仅当时，等号成立)  12分

对任意正整数，取得，，

故．                                            14分

(1) m≥时，g(x)max=2m-； (2) -1≤m<9.

(1)g(x)=. 　　

即m≥时，g′(x)≤0,g(x)在[,2]上单调递减，

∴g(x)max=g()=2m--ln2.                          

所以m≥时，g(x)max=2m-；

(2)因为函数y=log[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则其导数在[1，+∞）上恒小于等于零.

所以

恒成立.                   

因为loge<0，所以在[1，+∞）恒成立.即在[1，+∞）恒成立.

因为在[1，+∞）上不恒成立,所以在[1，+∞）上恒成立.

得在[1，+∞）上恒成立.         所以-1≤m<9.      

（本题也可用复合函数进行处理）

(1) 1-3ln 2   (2) 0    (3) 满足条件的切线只有一条,其方程为5x+y-1=0.

解:(1)由题可知f′=1,解得a=1,

故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=,

由f′(x)=0得x=2或x=1.

于是可得x∈的下表:

于是可得f(x)min="f(2)=1-3ln" 2.

(2)∵f′(x)=a+-= (x>0),

由题可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1、x2,

则

解得0.

(3)由(1)f(x)=x--3ln x,

故F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x)=3x2-6x-2(x>0).

设切点为T(x0,y0),由于点P在函数F(x)的图象上,

①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x0≠1时,由于切线过点P(1,-4),则=3-6x0-2,

所以-3-2x0+4=(x0-1)(3-6x0-2),

化简得-3+3x0-1=0,即(x0-1)3=0,

解得x0=1(舍去).

②当切点T与点P(1,-4)重合,即x0=1时,

则切线的斜率k=F′(1)=-5,

于是切线方程为5x+y-1=0.

综上所述,满足条件的切线只有一条,

其方程为5x+y-1=0.

（1）当a>0时，函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a2，无最大值．当a<0时，函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a2，无最大值．（2）见解析（3）仅有一根

(1)由题意得f′(x)＝.

当a>0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a2，无最大值．

当a<0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a2，无最大值．

(2)取a＝1，由(1)知f(x)＝ln x－≥f(1)＝0，故≥1－ln x＝ln，

取x＝1,2,3，…，n，则1＋.

(3)假设存在这样的切线，设其中一个切点为

T，∴切线方程为y＋1＝(x－1)，将点T坐标代入得ln x0－＋1＝，即ln x0＋－－1＝0，①

设g(x)＝ln x＋－－1，则g′(x)＝.

∵x>0，∴g(x)在区间(0,1)，(2，＋∞)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数，

故g(x)极大值＝g(1)＝1>0，g(x)极小值＝g(2)＝ln 2＋>0.

又g＝ln＋12－16－1＝－ln 4－5<0.

注意到g(x)在其定义域上的单调性，知g(x)＝0仅在内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线仅有一条．

（1）.

（2）当时，在单调递减，在单调递增；当时， 在和单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增。

试题分析：（1）通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式，即得解.

（2）求导数，求驻点，得或.分以下情况讨论.

1；2；3；4； 5等，明确函数的单调区间.

试题解析：（1）时，，，，，所以所求切线方程为，即.

（2），令得或.

1当时，，所以在单调递减，在单调递增；

2当时，，所以在和单调递增，在单调递减；

3当时，，所以在单调递增；

4当时，，所以在和单调递增，在单调递减；

5当时，，所以在单调递减，在单调递增。

综上，当时，在单调递减，在单调递增；当时， 在和单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增。

（I），；（II）详见试题解析；（III）的取值范围是．

试题分析：（I）根据导数的几何意义，首先对函数求导，可得，由已知：曲线在点处的切线方程为，从而可得的值及，又，故得；（II）先利用导数的几何意义，求出在点处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简即得满足的方程为，下面利用反证法明当时，；（III）由（II）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．构造函数，利用导数求函数的极大值、极小值，只要的极大值与极小值异号即可，解这个不等式组即可求得的取值范围．

试题解析：（I）由又由曲线处的切线方程为，得故

（II）处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简得，即满足的方程为．

下面用反证法证明：假设处的切线都过点，则下列等式成立．

由（3）得

又，故由（4）得，此时与矛盾，．

（III）由（II）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．

设，则，由于，故有

由 的单调性知：要使有三个相异的实根，当且仅当<0，．

的取值范围是．

（I)的极大值为和；的极小值为.(II)的取值范围是.

试题分析：（I) 易知函数定义域为，在上讨论的极值先求导，列出的正负表，再根据函数的单调性和极值与倒数的关系即可求出极值.

（II) 本题是不等式恒成立求参数范围问题，一般思路是化简-分类讨论，但本题中化简后为，如果用即换元后为讨论起来更简单.分别讨论时，化简为；‚时，恒成立；‚时化简为三种情况，运用均值不等式求出范围即可.

试题解析：（I) 函数，知定义域为,.

所以的变化情况如下：

所以的极大值为和；的极小值为.

（II) 当时，恒成立，化简为，令

则，代入化简为.当时，即，等价于

由，当且仅当时，即等号成立.所以的取子范围是；‚当时，即，不等式恒成立；ƒ当时，即，

等价于由，当且仅当时，即等号成立.所以的取子范围是；综上的取值范围是.

（Ⅰ）函数的单调递减区间，递增区间，极小值为，无极大值；（Ⅱ）的范围是．

试题分析：（Ⅰ）求的单调区间和极值，研究单调性和极值问题，往往与导数有关，特别是极值，只能利用导数求得，故先对求导，得，令，解得，从而得递增区间，同样方法可得递减区间为，进而得极值；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的范围，属于恒成立问题，解这一类题，常常采用含有参数的放到不等式的一边，不含参数（即含）的放到不等式的另一边，转化为函数的最值问题，故原不等式可化为，只需求出在上的最大值即可，因含有，可通过求导来求，令可得，，得，故最大，最大值为，从而得的范围．

试题解析：（Ⅰ）函数的单调递减区间，递增区间.极小值为，无极大值；

（Ⅱ）原不等式可化为：，令可得，令，可得在上恒小于等于零，所以函数g(x)= 在（0，1）上递增，在（1，+）递减，所以函数g(x)在上有最大值g(1)=2-e，所求的范围是