热门试卷

（1），在上的最大值为15;

（2）实数的取值范围为：.

试题分析：（1）先对函数求导，再把代入导函数使之为0，即解得的值，进一步可求；令导函数为0，列表可求在上的最大值；(2)函数是上的单调递增函数可转化为在R上恒成立,即可求出实数的取值范围.

试题解析：（1），令，即∴.

∴                    4分

令，解得或(舍去).

当变化时,，,的变化情况如下表:

因此,当时,在区间[1,5]上有最大值是.      8分

(2) 是R上的单调递增函数转化为在R上恒成立,   10分

从而有，由，解得    12分

（I）a的取值范围为a≤0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）可找到一个常数，使得>x0+1成立．

试题分析：（I）时，，求导得．由题意，≥0在上恒成立.因为ex>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，结合抛物线的图象即可得a的取值范围；（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．由于含有，故分和两种情况讨论.①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，可变为证1≤成立，这样只需利用导数求的最小值即可，求导得，易得≥0，从而g(x)≥g(0)=1.注：直接证也可，只是需要求两次导数．

②在x≤0时，要证-≤x+1成立，可变为证1≤成立，这样只需利用导数求的最小值即可.

（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即.如果变为，那么求导后式子很复杂，故尝试作其它的变形.

变形为，要找一个x0>0使该不等式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．这利用导数就容易解决了.

试题解析：（I）∵时，，

∴．

由题意，≥0在上恒成立，

当a=0时，>0恒成立，即满足条件．

当a≠0时，要使≥0，而ex>0恒成立，

故只需≥0在上恒成立，即

解得a<0．

综上，a的取值范围为a≤0．                  4分

（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．

①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，

只需证≤，即证1≤，      ①

令，得，

整理得，

∵x≥0时，≤1，结合a≥1，得≥0，

∴为在上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．

②在x≤0时，要使-≤x+1成立，

只需证≤，即证1≤，       ②

令，得，

而在x≤0时为增函数，

故≤≤0，从而≤0，

∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．

综上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立． 10分

（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即，

变形为， ③

要找一个x0>0使③式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．

∵，

令得，则x=-lna，取x0=-lna，

在0，在x>-lna时，，

即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数，

∴当x=-lna时，取得最小值

下面只需证明：在时成立即可．

又令，

则≥0，从而在(0，1)上是增函数，

则，从而，得证．

于是的最小值，

因此可找到一个常数，使得③式成立．      14分

（Ⅰ）单调减区间是,增区间是.；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（1）先求，解不等式并和定义域求交集，得的单调递增区间；解不等式并和定义域求交集，得的单调递减区间；（2）等价于在时恒成立，即，故，得实数a的取值范围；（3）由特称量词的含义知，在区间内存在两个独立变量，使得已知不等式成立，等价于的最小值小于等于的最大值，分别求两个函数的最小值和最大值，建立实数的不等式，进而求的范围.

试题解析：由已知函数的定义域均为,且.

（Ⅰ）函数，当且时,;当时,.

所以函数的单调减区间是,增区间是.

（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．

（Ⅲ）命题“若使成立”等价于“当时，

有”．

由（Ⅱ），当时，，． 问题等价于：“当时，有”．

当时，由（Ⅱ），在上为减函数，则=，故．

当0<时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．

（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）

试题分析：（1）当时.函数f(x)是一个对数函数和分式的和的形式.通过求导可以求出函数的有极小值，但没极大值.

（2）当时.通过求导可得导函数的两个零点，在定义域上分别对两个零点的大小讨论分类.从而得到函数的单调区间.

（3）由对任意的恒有成立.首先要求出函数f(x)在[1,3]上且的最大值.从而对于任意使得恒成立即可.再通过分离变量即可得到结论.本题前两小题较为基础但第二小题的分类做到清晰不容易，第三小题难度较大.

试题解析：（1）当时，     1分

由,解得.                                2分

∴在上是减函数，在上是增函数.               3分

∴的极小值为，无极大值.                   4分

（2）.  6分

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；   7分

②当时，在上是减函数；                      8分

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.    9分

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.              10分

由对任意的恒成立，

∴                        11分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，                         12分

由于当时，，∴.           14分

（1），；（2），.

试题分析：（1）将切点坐标代入函数得一等式，函数在某点处的导数即为该点处切线的斜率，由这两个等式可求得a、b的值. （2）将（1）所求得的a、b的值代入得，通过求导，即得其极值.

试题解析：（1）由求导得：

               2分

据条件有

               5分

解之得，              6分

（2）据（1）知，所以

           7分

所以在区间、内是增函数，在区间上是减函数   9分 故        11分

            12分

(I)的单调增区间为,减区间为 ；(Ⅱ) 证明详见解析；(Ⅲ)

试题分析：(Ⅰ)先求导数，然后求导数大于或小于零的区间，即得原函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ) 可知 当时,即对一切成立，可得，然后叠乘即可. (Ⅲ)求出，则，求出，，再求出，则，由于:对于任意的,恒成立,，所以，解出m即可.

试题解析：解：(Ⅰ)当时, ，解得；解得[的单调增区间为,减区间为 

(Ⅱ)证明如下: 由(Ⅰ)可知 当时,即,

∴对一切成立 

∵,则有,∴ 

(Ⅲ) ∵∴得, ,∴  

∵在区间上总不是单调函数,且∴ 

由题意知:对于任意的,恒成立, 所以,,∴.

（Ⅰ）函数在上的单调递增  （Ⅱ）实数的取值范围

试题分析：（Ⅰ）利用函数的单调性的定义判断：先由，然后利用判断出单调性，本题的关键在于：先把转化成因式乘积的形式，继而判断每一个因式的符号，最后得到，即 

(Ⅱ）先由,得到，然后利用在上的单调递增，得到，只需，利用子集的性质得到的取值范围 

试题解析：（Ⅰ）函数在上的单调递增    1分

证明如下：设，则

    2分

，， 

，即，    2分

函数在上的单调递增      1分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，    1分

，在上的单调递增，

时，    1分

依题意，只需    2分

，解得，即 实数的取值范围    2分

(1) a＝0，b＝1.(2) b>1

(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，

得f′(x)＝x(2＋cos x)，

∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．

∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，

则a＝0，b＝f(0)＝1.

(2)令f′(x)＝0，得x＝0.

∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增．

当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．

∴f(x)的最小值为f(0)＝1.

由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，

所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．

(1)  ;  ;(2) ， ;(3)详见解析.

试题分析：(1)利用函数在处的导数，等于在处切线的斜率，所以先求,再求,直线的斜率就是,直线过点,代入得到直线的方程，直线与的图象相切，所以代入联立,得到值；（2）先求, 得到,再求,令,得到的取值范围，即求得函数的单调递增区间；（3）令，，再求,得到极值点，然后列表分析当变化时，，的变化情况，结合为偶函数，画出的函数图形，再画,当直线上下变化时，可以看出交点的变化，根据交点的不同，从而确定，再不同的范围下得到不同的交点个数.此问注意分类讨论思想的使用，不要遗漏情况．属于较难习题．

试题解析：（1）解：由，

故直线的斜率为，切点为，，即，，

所以直线的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　     3分

直线与的图象相切，等价于方程组只有一解，

即方程有两个相等实根，

所以令，解得.             5分

（2）因为，

由，

令，所以，

所以函数的单调递增区间是，.          8分

（3）令，，

由，令，得，，，         10分

当变化时，，的变化情况如下表：

又为偶函数， 所以函数的图象如图：

当，时，方程无解；

当或，时，方程有两解；

当时，方程有三解；

当，时，方程有四解．　           14分