热门试卷

（1）；（2）（3）详见解析

试题分析：（1）求导，令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间，根据函数的单调性求其最小值。（2）因为，表示点与点连成的斜率，可将问题转化为直线的斜率问题。根据导数的几何意义可求其斜率，将恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时还是用求导再求其单调性的方法求其最值。（3）由（2）可得，则有。用放缩法可证此不等式。

试题解析：解：（1）

得

上递减，上递增。

。           4分

（2），

表示点与点连成的斜率，又，，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，

即内恒成立.            6分

所以，当恒成立.

设

若

当上单调递减；

当上单调递增.             9分

又

故                 10分

（3）由（2）得，

                                    11分

所以

又

而

成立.           14分

（1）；（2）当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．（3）详见解析。

试题分析：（1）由导数的几何意义可知，即可得与的关系。（2）先求导数，及其零点，判断导数符号，即可得原函数增减变化，注意分类讨论。（3）由可得。然后分别证明不等式的左右两侧，两侧不等式的证明均需构造函数，再利用函数的单调性证明。

试题解析：解：（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴                                              4分

（2）由（1）得

∵函数的定义域为 

①当时，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

②当时，令得或，

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；

若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；

若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增.  

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

9分

（3）依题意得，证，即证

因，即证. 令（），即证（）

令（）,则

∴在（1，+）上单调递增，

∴=0，即（）①

再令m(t)="lnt" t+1,= 1<0, m(t)在（1，+∞）递减，

∴m(t)

综合①②得（），即．            14分

（I）由已知可得，.

（II）.

（III）时，的最大值是.

试题分析：（I）根据及导数的几何意义即得到的关系.

（II）将表示成，应用二次函数知识，当时，取到最大值，得到，从而得到.

（III）根据，

确定，

利用基本不等式，得到g(x)的最大值及相应x值.

试题解析：（I）由已知可得

又因为.

（II），

所以当时，取到最大值，此时，

.

（III）因为，

所以，

又因为，，，

，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以，即的最大值是.

(Ⅰ)当，即时，的增区间为,当时，的增区间为，减区间为;

(Ⅱ)．

试题分析：(Ⅰ)求函数的单调区间，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调区间，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数求导得，有基本不等式知，，需讨论，当，即时，，的增区间为,当时，令，，解出就能求出函数的单调区间；(Ⅱ) 若，且有两个极值点，求的取值范围，由(Ⅰ)可知，在内递减，得 ，且，得，又由(Ⅰ)可知，，即，由，可求出，再由，判断它的单调性，从而求出范围．

试题解析：(Ⅰ)                          1分

当，即时，的增区间为             3分

②当时，  5分

的增区间为，减区间为  7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，在内递减，      8分

，， 

而在上递减，       10分

      12分

令，

在上递减                            14分

               15分

(Ⅰ)的单调递减区间是和，单调递增区间是；(Ⅱ)；

（Ⅲ）当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.

试题分析：（Ⅰ）根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间；

（Ⅱ）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值；

（Ⅲ）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值.

试题解析：（Ⅰ），（），                        2分

在区间和上，；在区间上，.

所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分

(Ⅱ）设切点坐标为，则          6分（1个方程1分）

解得，.                                  7分

（Ⅲ），

则，                                  8分

解，得，

所以，在区间上，为递减函数，

在区间上，为递增函数.                     9分

当，即时，在区间上，为递增函数，

所以最小值为.                       10分

当，即时，在区间上，为递减函数，

所以最小值为.               11分

当，即时，最小值

=.

综上所述，当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.    12分

(Ⅰ)函数的递减区间为,递增区间为,.

(Ⅱ)函数在上的最大值.

试题分析：(Ⅰ) 当时,

,

令,得,

当变化时, 的变化如下表:

 由表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.     6分

(Ⅱ) ,

令,得,,

令,则,所以在上递增,

所以,从而,所以

所以当时, ；当时, ；

所以

令,则,

令,则

所以在上递减,而

所以存在使得,且当时, ,

当时, ,

所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,

所以在上恒成立,当且仅当时取得“=”.

综上,函数在上的最大值.     14分

点评：难题，本题较为典型，是导数应用的基本问题。曲线切线的斜率等于在切点处的导函数值。研究函数的最值遵循“求导数，求驻点，研究单调性，确定极值，计算区间端点函数值，比较大小”。本题中函数f（x）在[0,k]上的最大值M.是关于k的函数，处理问题过程中对k存在的讨论易出错。

（1）4（2）存在实数：

（I）由函数单调递减。

知                                                      …………2分

                                                                        …………3分

                                                                         …………4分

（II）函数的图象恰好有3个交点，等价于方程

                             …………6分

是其中一个根，                                                                                …………8分

故存在实数：                                                                         …………12分

（1）（2）

当

（1）当………………2分

即上恒立 ………………3分

而 ………………6分

 ………………7分

（2）由（1）知

①当上是增函数

 ………………10分

②当

 …………13分

当 ……………14分

（1），,（2）当时，绿化带总长度最大．

试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式.本题要注意着重号. 绿化带总长度等于2AC与弧长BC之和. 在直角三角形中，，，所以．由于，所以弧的长为．所以，作为函数解析式，必须明确其定义域，．（2）利用导数求最大值. 令，则，列表分析可知当时，取极大值，即为最大值．

【解】（1）如图，连接，设圆心为，连接．

在直角三角形中，，，

所以．

由于，所以弧的长为．         3分

所以，

即，．                           7分

（2），                                  9分

令，则，                                       11分

列表如下：

所以，当时，取极大值，即为最大值．                 13分

答：当时，绿化带总长度最大．                           14分