热门试卷

（1） ；（2）详见解析.

试题分析：（1）由题设可得两个方程： ①，  ②.解这个方程组，求得的值，便得函数的解析式.（2）要证明不等式只需证（）的最大值小于等于0即可，而利用导数很易求得的最大值，从而使问题得证.

试题解析：（1）由得 

∵曲线C过     ∴   ①                 2分

又∵曲线C在点处的切斜线率

∴  ②                          4分

联立①②解之得                       5分

∴函数的解析式为              6分

（2）由（1）知其定义域为

令（），则         8分

令（），解之得         10分

∴函数在 上单调递增，在 上单调递减，    12分

而,所以的最大值为0，故当时，即.  13分

（1）；（2）;(3) 当或时，在处取得最大值；当时，取得最大值；当时，在取得最大值；当时，在处都取得最大值0.

试题分析：（1）首先求出导数：，

代入得：.

因为为奇函数，所以必为偶函数，即，

所以.

（2）若，直线都不是曲线的切线，这说明k不在的导函数值域范围内. 所以求出的导函数，再求出它的值域，便可得k的范围.

（3）.

由得：.

注意它的两个零点的差恰好为1，且必有.

结合导函数的图象，可知导函数的符号，从而得到函数的单调区间和极值点.

试题解析：（1）因为，

所以            2分

由二次函数奇偶性的定义，因为为奇函数，

所以为偶函数，即，

所以                                4分

（2）若，直线都不是曲线的切线，即k不在导函数值域范围内.

因为，

所以对成立，

只要的最小值大于k即可，所以k的范围为.7分

（3）.

因为，所以，

当时，对成立，在上单调递增，

所以当时，取得最大值;

当时，在，，单调递增，在时，，调递减，

所以当时，取得最大值;

时，在，，单调递减，

所以当时，取得最大值;.10分

当时，在，，单调递减，在，，单调递增,

又，，

当时，在取得最大值;

当时，在取得最大值；

当时，在处都取得最大值0．

综上所述：当或时，在处取得最大值；

当时，取得最大值；

当时，在取得最大值；

当时，在处都取得最大值0．13分

（Ⅰ）恒成立，当时，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函数的性质，（Ⅱ）不可能恒成立，则函数不可能总为增函数.

（Ⅱ）；

（2）“伪二次函数” 不具有（1）的性质.

试题分析：（Ⅰ）定义域为，如果为增函数，则（Ⅰ）恒成立，当时，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函数的性质，（Ⅱ）不可能恒成立，则函数不可能总为增函数.        4分

（Ⅱ）（1）.

由      ∴，则          8分

（2）不妨设，对于“伪二次函数”：

（Ⅲ）

由(1)中（Ⅰ）(Ⅳ)

的性质,则,比较（Ⅲ）(Ⅳ)两式得 ,

即(Ⅴ)   令 (Ⅵ)

设,则

∴在(1, )上递增, ∴

∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,

∴“伪二次函数” 不具有（1）的性质.           13分

点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。（I）中要对a的不同取值情况加以讨论，在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。理解“伪函数的概念”的解题的关键之一。

（1）；(2) 在区间,内为减函数，在区间内为增函数，在上的最大值为1．

试题分析：（1）首先求得导函数，然后求得切线斜率，再利用点斜式求切线方程；（2）首先通过建立的变化情况如下表，然后确定出单调性，并确定出函数的极值，再与的值进行比较，进而可求得最值．

（1）当时，，，

又，则．

所以曲线在点处的切线方程为．

(2) ．

由于，令，得到，．

当变化时，的变化情况如下表：

∴在区间,内为减函数，在区间内为增函数．

故函数在点处取得极大值，且．

∵，且－＝＝＜0，

∴在上的最大值为1．

（1） ；（2）①3；②存在，.

试题分析：（1）由题意可知，又切线的斜率为，从而可列出关于的方程组，解得；（2）①由（1）得，它在区间上是增函数，说明在上恒成立，求得，那么，可变形为，因此我们只要求出在上的最小值即可，而求最小值时可用换元法.设；②从题意可知点若存在，则必是图象的对称中心，因此我们着重点在于寻找的对称中心，同时我们知道爱的渴，则图象的对称点心是，由于是由一个整式与一个分式相加，可以先考虑分式，使为常数，，再代入验证是不是为常数.

试题解析：（1）时，

，         2分

在直线上，，即 

           4分

，

（2）①

是上的增函数，

，

在上恒成立，        6分

令  则，

设， 在上恒成立        7分

恒成立，， 实数最大值为        9分

②由，

，          11分

表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，

而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称.

这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，

则这两个封闭图形面积相等．        13分（其它解法相应给分）.

（1），（2）①详见解析，②

试题分析：（1）求具体函数极值问题分三步，一是求导，二是求根，三是列表，关键在于正确求出导数，即；求根时需结合定义区间进行取舍，如根据定义区间舍去负根；列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律，这样才可得出正确结论，因为导数为零的点不一定为极值点，极值点附近导数值必须要变号，（2）①利用导数证明函数单调性，首先要正确转化，如本题只需证到在区间[1，2]上成立即可，由得只需证到在区间[1，2]上，因为对称轴在区间[1，2]上单调增，因此只需证，而这显然成立，②中条件“在区间[1，2]上是增函数”与①不同，它是要求在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数图像可得关于不等关系，再考虑，，可得可行域.

试题解析：（1）解:      2分

当时, ,

令得或(舍去)     4分

当时, 是减函数,

当时, 是增函数

所以当时, 取得极小值为     6分

（2）令  

① 证明: 二次函数的图象开口向上,

对称轴且       8分

对一切恒成立.

又对一切恒成立.

函数图象是不间断的,

在区间上是增函数.     10分

②解:

即

在区间上是增函数

对恒成立.

则对恒成立.

     12分

在(*)(**)的条件下, 且

且恒成立.

综上,点满足的线性约束条件是     14分

由所有点形成的平面区域为 (如图所示),

其中

则

即的面积为.     16分

（1）函数的单调增区间为和；（2）详见解析.

试题分析：（1）先利用函数在处取得极值，由求出的值，进而求出的解析式，解不等式，从而得出函数的单调增区间；（2）（Ⅰ）构造新函数，利用导数证明不等式在区间上成立，从而说明当时，的图象恒在的上方；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论证明当时，，由此得到，，，，结合累加法得到，再进行放缩得到

，从而证明.

试题解析：（1），，函数的定义域为，

由于函数在处取得极值，则，

，

解不等式，得或，

故函数的单调增区间为和；

（2）（Ⅰ）构造函数，其中，

，故函数在区间上单调递减，

则对任意，则，即，即，

即当时，的图象恒在的上方；

（Ⅱ）先证当时，，由（Ⅰ）知，当且时，，

故有，

由于，，，，

上述个不等式相加得，即，

即，由于，

上述不等式两边同时乘以得.

（1）；（2）.

试题分析：（1）求出的导数，由题设知，且，解得即可；（2）两种方法：法一，先利用在处不等式成立，得，即是不等式恒成立的必要条件，再说明是不等式恒成立的充分条件即可；法二，记则在上，，对求导，对讨论求出满足的的范围.

试题解析：（Ⅰ）     

由题设知，且，即， ……2分

因为上式对任意实数恒成立，        ……4分

故，所求    ……5分

（Ⅱ）即，

方法一：在时恒成立，则在处必成立，即，

故是不等式恒成立的必要条件.   ……7分

另一方面，当时，记则在上，

     ……9分

时，单调递减；时，单调递增

，，即恒成立

故是不等式恒成立的充分条件.  ……11分

综上，实数的取值范围是      ……12分

方法二：记则在上，

    ……7分

若，，时，，单调递增，，

这与上矛盾；      ……8分

若，，上递增，而，

这与上矛盾；……9分

③若，，时，单调递减；时，单调递增

，即恒成立     11分

综上，实数的取值范围是      12分

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析

试题分析：（1）对于确定函数的单调性，可利用的解集和定义域求交集，得递增区间；的解集和定义域求交集，得递减区间，如果和的解集不易解出来，可采取间接判断导函数符号的办法，该题，无法解不等式和，可设

，再求导>0,故在递增，又发现特殊值，所以在小于0，在大于0，单调性可判断；（2）要证明，可证明，由(1)知，函数在递减，递增，而无意义，所以可考虑对不等式等价变形，从而，写成积的形式，判断每个因式的符号即可（注：这样将.与分开另一个目的是为了便于求导）.

试题解析：(1),设,则且,在上单调递增,当时, ,从而单调递减；当时, ,从而单调递增，因此，在上单调递减，在上单调递增；

（2）证明：原不等式就是，即，令，在上单调递增，当时，，当时，，所以当且时，.