热门试卷

（1）函数的递减区间为递增区间为极大值为，极小值为；（2）详见试题解析．

试题分析：（1）先求，解方程，得可能的极值点，列表可得函数的单调区间和极值；（2）．当时，，在上无零点，故只需证明函数在上有且只有一个零点．分和利用函数的单调性证明函数在上有且只有一个零点．

试题解析：（1）当时，，．

令，得，．

当变化时,的变化如下表:

由表可知，函数的递减区间为递增区间为极大值为，极小值为．                                  6分

（2）．当时，，在上无零点，故只需证明函数在上有且只有一个零点．

①若，则当时，在上单调递增．

在上有且只有一个零点．

②若，则在上单减，上单增．

令则．在上单增，在上单增，，在上有且只有一个零点．

综上，在上有且只有一个零点．                          13分

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由于增函数的导数应大于等于零，故先对函数求导并令其大于零，可得的取值范围，注意在求导时需细心；（Ⅱ）由函数在处取得极值可知，在处函数导数为零，可求得的值，要使时，恒成立，需要求出在中的最大值，只有最大值小于，则恒成立，故可求得的范围，这类题目就是要求出在给定区间上的最值.

试题解析：（1），∵在是增函数，

∴恒成立，∴，解得．

∵时，只有时，，∴b的取值范围为．  3分

（Ⅱ）由题意，是方程的一个根，设另一根为，

则  ∴ ∴，             5分

列表分析最值：

∴当时，的最大值为，               9分

∵对时，恒成立，∴，解得或，

故的取值范围为                      12分

（1）

（2）方程有且只有一个实根．

（3）存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．

试题分析：解法一：（Ⅰ）因为，所以，

函数的图象在点处的切线斜率．

由得：．                    4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．

因为，，所以在至少有一个根．

又因为，所以在上递增，

所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一

个实根．                         7分

（Ⅲ）证明如下：

由，，可求得曲线在点处的切

线方程为，

即．                    8分

记

，

则．               11分

（1）当，即时，对一切成立，

所以在上递增．

又，所以当时，当时，

即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线

在该点处切线的两侧．                   12分

（2）当，即时，

时，；时，；

时，．

故在上单调递减，在上单调递增．

又，所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的

同侧．                                   13分

（3）当，即时，

时，；时，；时，．

故在上单调递增，在上单调递减．

又，所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．

综上，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．                             14分

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）证明如下：

由，，可求得曲线在点处的切

线方程为，

即．                  8分

记

，

则．            11分

若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右两部分都

位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，

由二次函数的性质知，当且仅当，即时，

t不是极值点，即．

所以在上递增．

又，所以当时，；当时，，

即存在唯一点，使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．                         14分

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．

（1）内是减函数，在（1－m，+∞）内是增函数，当等于1－m时，函数有极小值1－m．（2）m≤1．（3） 详见解析.

试题分析：（1）求导即得.（2）要不等式 恒成立，只需的最小值≥0即可.（3） 要证明方程内有唯一实根，需要证明以下两点：第一、在上是单调函数，第二、.

试题解析：（1）．

∵         2分

∴内是减函数，在（1－m，+∞）内是增函数，当等于1－m时，函数有极小值1－m．                          4分

（2）由（1）知，在定义域内只有一个极值点，所以的最小值就是1－m，从而当1－m≥0时，不等式≥0恒成立                6分

故所求的实数m的取值范围是m≤1．                     8分

（3）∵m>1，．                 9分

又               10分

∵

∴．                           12分

根据第1小问的结论，在（1－m，+∞）内是增函数,因此，方程在区间内有唯一的实根              13分

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：（Ⅰ）当时，求导数，令，，求函数的单调区间与极值，再求最大值，从而判断，当时，成立；(Ⅱ)由，注意到．再求，对实数分三种情况讨论，①，②，③，分别求出当时，分别通过函数单调性，判断函数的单调性，从而求得的的取值范围，再求并集.

试题解析：（Ⅰ）当时，，则

令，得，当时，，所以在为增函数；

当时，，所以在为减函数．

所以，．

即当时，成立．                   4分

（Ⅱ）由，注意到．

设，则.

（ⅰ）当，时，，因此在为减函数，

即在为减函数，

所以在为减函数，与已知矛盾.

（ⅱ）当时，当时，

则在为减函数，此时得为减函数，

与已知矛盾.

（ⅲ）当时，当时，为增函数. 

，所以在为增函数，

不等式成立.

综上所述 ，的取值范围是

（1）在上单调递减，在，上单调递增；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，求导，用导数的正负来判断函数的单调性；第二问，分类讨论，先讨论的情况，再研究的情况，通过求函数最值求的取值范围.

试题解析：（1）∵，∴，

∴，所以当时，；当或时，，

∴在上单调递减，在，上单调递增.         6分

（2）由，得，即要满足，

当时，显然成立；当时，，记，，

所以易知的最小值为，所以，得.         12分

（1）

（2）

而 

试题分析：（1）             2分

由已知条件得

解得                    5分

（2），由（I）知

设则

                8分

而            12分考点：

点评：中档题，此类问题属于导数应用的基本问题，往往将单调性、极值、解析式等综合在一起进行考查，应掌握好基本解题方法和步骤。切线的斜率等于函数在切点的导函数值。在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。