热门试卷

（1）构造函数g(x)="f(x)-" ，利用导数来判定单调性得到证明。

（2）或

试题分析：（1）令g(x)="f(x)-" ="ln(x+1)-" ，

则g′(x)=  -∵x＞0，

∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．

故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞

（2）原不等式等价于x2-f(x2)≤m2-2bm-3．

令h(x)= x2-f(x2)=x2-ln(1+x2)，

则h′(x)=x-=

令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．

∴当x∈[-1，1]时，h（x）max=0，

∴m2-2bm-3≥0．令Q（b）=-2mb+m2-3，

则Q(1)=m2-2m-3≥0, Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．

点评：本题考查函数的导数和函数思想的应用，本题解题的关键是构造新函数，对于新函数进行求导求最值，再利用函数的思想来解题，这种题目可以出现在高考卷中

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，

当x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增．              ……2分

①0＜t＜t＋2＜，t无解；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f （x）min＝f （）＝－；

③≤t＜t＋2，即t≥时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）min＝f （t）＝tlnt；

所以f （x）min＝．                                          ……6分

（II）问题等价于证明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，当且仅当x＝时取到．

设m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝，易得m （x）max＝m （1）＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．…12分

略

（Ⅰ）（i）点A坐标为 

（ii）     存在    

（Ⅱ）  

（I）（i）设点A的坐标为

得

故函数与图象的交点A坐标为        3分

（ii）若存在a，使得

则当点A坐标为

又，

则，此时点A坐标为        5分

当点A坐标为

又，

则，无解。                                                7分

综上，存在

（II）令整理得

图象另一交点横坐标

10分

结合图象可得：

（1）若

（2）若

（3）若

综上

所以                        13分

当

且当时取到“=”；

当时，函数单调递减，此时

综上，                                               15分

（1）函数f(x)的单调递增区间为（）和（），函数f(x)的单调递减区间为（）   （2）存在a=1， 

（1）f(x)=x3-x-1，=3x2-1=0，x=，x∈（）或x∈（）时＞0，x∈（）时＜0,所以函数f(x)的单调递增区间为（）和（），函数f(x)的单调递减区间为（）…5分

（2）假设存在这样的a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立，则

①，两式相加可得0＜＜3，所以函数f(x)在区间[）递减，在区间[]递增,所以②，由不等式组中的第二式加第三式可得，由不等式组中的第一式加第三式可得。             10分

记，，a=3，又，在为减函数，又，所以，所以，所以a=1，代入②式可得，所以存在a=1，，使得对任意的x∈[0，1]成立。       16分

（Ⅰ）；（Ⅱ）的极小值；（Ⅲ）的最小值为．

试题分析：（Ⅰ）先由已知条件写出，的表达式，观察式子的结构特征，用不完全归纳法归纳出表达式（可以用数学归纳法给出证明）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，要求极值点，就要借助的导函数，令，解出可能的极值点，验证是极值后代入解析式，即可求出的最小值；（Ⅲ）类比求函数的最小值的过程，即可求出函数的极大值，进而求出函数的最大值，从而得的关系式，将它看作数列，研究该数列相邻两项的关系，即可求得的最小值；得的关系式后，也可以构造函数，利用导数求它的最小值，即得的最小值．

试题解析：（Ⅰ）                       4分

(Ⅱ)∵，∴当时，；当时，,∴当时，取得极小值，即（）    8分

(Ⅲ)解法一：∵，所以.     9分

又，∴，令，则.                                10分

∵在单调递增，∴，∵，，

∴存在使得.                             12分

∵在单调递增，∴当时，；当时，，即在单调递增，在单调递减，∴，又∵，，，

∴当时，取得最小值.                            14分

解法二： ∵，所以.        9分

又，∴，令，则，                             10分

当时，，又因为，所以，，，

∴，所以.                       12分

又，，∴当时，取得最小值.      14分

（1）（2）

试题分析：解：（Ⅰ）

                       2分

令得

∴或                         4分

有极大值32，又

在时取得极大值           5分

                         6分

（Ⅱ）由知：

当时，函数在上是增函数，在上是减函数

此时，                 7分

又对，不等式恒成立

∴得

∴               9分

当时，函数在上是减函数，在上是增函数

又，，

此时，                 11分

又对，不等式恒成立

∴得

∴                           13分

故所求实数的取值范围是                   14分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，通过导数的符号以及极值来得到最值，求解参数的范围，属于中档题。

(Ⅰ)解：或时，

．

由在内有解．令，

不妨设，则，所以，，

解得．                               

(Ⅱ)解:由或，

由,或，

得在内递增,在内递减,在内递减,在递增．

由，得，

由得,

所以，

因为，，

所以

，

记， ()，

则，在(０，＋∞)上单调递增，

所以．         

略

（1）

（2）

（1）

…………………………2分

令

减区间为（－a，3a）

…………………..8分

(2)

……………………11分

只需

…………………………………..14分