- 导数在研究函数中的应用
- 共24261题
已知函数在
及
处取得极值.
(1)求、
的值;(2)求
的单调区间.
正确答案
(1)、
(2)的单调增区间为
和
,
的单调减区间为
.
试题分析:(1)由已知
因为在
及
处取得极值,所以1和2是方程
的两根
故、
(2)由(1)可得
当或
时,
,
是增加的;
当时,
,
是减少的。
所以,的单调增区间为
和
,
的单调减区间为
.
点评:中档题,本题属于导数的基本应用问题。在给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数。
已知函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若函数存在一个极大值和一个极小值,且极大值与极小值的积为
,求
的
值.
正确答案
(Ⅰ)所求面积为. (Ⅱ)
.
试题分析:(Ⅰ), 当
时,
,
,
,所以曲线
在
处的切线方程为
切线与
轴、
轴的交点坐标分别为
,
, 所以,所求面积为
.
(Ⅱ)因为函数存在一个极大值点和一个极小值点,
所以,方程在
内存在两个不等实根,
. ,则
设为函数
的极大值和极小值,
则,
,
因为,,所以,
,
即,
,
,
解得,,此时
有两个极值点,所以
.
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)涉及方程实根的讨论及研究,运用了韦达定理,轻声道切线斜率,等于函数在切点的导函数值。
设函数f(x)=(1+x)2-2ln (1+x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.
正确答案
(1)f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).
(2)(2-2ln 2,3-2ln 3].
试题分析:解 (1)函数的定义域为(-1,+∞),
因为f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),
所以f′(x)=2=
,
由f′(x)>0,得x>0;由f′(x)<0,得-1<x<0,
所以,f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).
(2)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-2ln(1+x)=0,
记g(x)=x-a+1-2ln(1+x)(x>-1),
则g′(x)=1-=
,
由g′(x)>0,得x>1;
由g′(x)<0,得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异的实根,
只须g(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根,
于是有即
解得2-2ln 2<a≤3-2ln 3,
故实数a的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3].
点评:解决的关键是根据导数判定函数单调性,以及函数的零点问题,属于中档题。
已知函数,在x=1处连续.
(I)求a的值;
(II)求函数的单调减区间;
(III)若不等式恒成立,求c的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)(Ⅱ)函数
(Ⅲ)c的取值范围为
(I)由处连续,
可得,故
…………2分
(II)由(I)得
所以函数 …………7分
(III)设
故c的取值范围为
已知函数(
)
(1) 求f(x)的单调区间;
(2) 证明:lnx<
正确答案
(1)在上
<0,f(x)递减;在
上,
>0,f(x)递增.
(2)证明见解析。
(1)函数f(x)的定义域为,
…………2分
①当时,
>0,f(x)在
上递增.………………………………4分
②当时,令
得
解得:
,因
(舍去),故在
上
<0,f(x)递减;在
上,
>0,f(x)递增.…………8分
(2)由(1)知在
内递减,在
内递增.
……………………………………11分
故,又因
故,得
………………14分
己知函数 .
(I)若是,
的极值点,讨论
的单调性;
(II)当时,证明:
.
正确答案
(I)当,
单调递增;当
时
单调递减; (II)证明过程如下解析.
试题分析:(I)由是函数
的极值点,可得
,进而可得
,进而分析
的符号,进而可由导函数的符号与函数单调性的关系,可得函数
的单调性;
(II) 要求,不易证明.但当
时
,进而转化证明
.可由图像法确定
零点
的位置
及
进而确定
的单调性及
,得证.
试题解析:(I) 因为,所以
,且
.又因
是,
的极值点,所以
,解得
,所以
,
.另
得
,此时
单调递增;当
时,解得
,此时
单调递减.
(II) 当时,
,所以
.令
,只需证
.令
,即
,由图像知解唯一,设为
,则
,
.所以当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减.所以
,因为
,所以
.综上,当
时,
.
(本小题13分)已知函数
(1)若实数求函数
在
上的极值;
(2)记函数,设函数
的图像
与
轴交于
点,曲线
在
点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为
则当
时,求
的最小值.
正确答案
(1)有极小值.(2)2.
试题分析:(1)求函数的导数,然后确定函数f(x)的单调区间,在进一步求出极值即可.
(2)求出g(x)的解析式,求出P(0,1+a),由导数的几何意义求出P点处的斜率,在求出切线方程,写出S(a)的表达式,由基本不等式的性质求其最小值即可.
试题解析:(1)
当时,由
若,则
,所以
恒成立,
所以单调递增,无极值。
若,则
单调递减;
单调递增。
所以有极小值
。
(2)=
令得
,即
点处切线斜率:
点处切线方程:
令得
,令
得
所以
令
当且仅当
已知函数.
(Ⅰ)当时,函数
取得极大值,求实数
的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间
内存在导数,则存在
,使得
. 试用这个结论证明:若函数
(其中
),则对任意
,都有
;
(Ⅲ)已知正数满足
,求证:对任意的实数
,若
时,都
有.
正确答案
(Ⅰ) ;(2)详见解析;(3)详见解析.
试题分析:(Ⅰ)利用导数法判断函数的单调性,根据函数在极值
时有极值求出参数
的值;(Ⅱ)构造新函数再利用导数法求解;(Ⅲ)由已知条件得出
,再利用第(Ⅱ)问的结论对任意
,都有
求解.
试题解析:(Ⅰ)由题设,函数的定义域为,且
所以,得
,此时.
当时,
,函数
在区间
上单调递增;
当时,
,函数
在区间
上单调递减.
函数
在
处取得极大值,故
4分
(Ⅱ)令,
则.
因为函数在区间
上可导,则根据结论可知:存在
使得 7分
又,
当
时,
,从而
单调递增,
;
当时,
,从而
单调递减,
;
故对任意,都有
. 9分
(Ⅲ),且
,
,
同理, 12分
由(Ⅱ)知对任意
,都有
,从而
. 14分
已知函数,其中
.
(1)若对一切恒成立,求
的取值范围;
(2)在函数的图像上取定两点
,记直线
的斜率为
,证明:存在
,使
成立.
正确答案
(1)
(2)由题意可得
令则
令。
试题分析:(1),令
当时
单调递减;当
时,
单调递增
∴当时,
有最小值
于是对于一切,
恒成立,当且仅当
①
令,则
当时,
取最大值1,当且仅当
时,①式成立
综上所述的取值的集合为
(2)由题意可得
令则
令
当时
单调递减;当
时,
单调递增。故当
时,
即
,
,又
,
所以
所以存在,使
点评:典型题,在给定区间,导数非负,函数为增函数,导数非正,函数为减函数。求函数的极值问题,基本步骤是“求导数、求驻点、研究单调性、求极值”。“恒成立问题”往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解答。
已知是二次函数,不等式
的解集是
且
在区间
上的最大值是12。
(I)求的解析式;
(II)是否存在实数使得方程
在区间
内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由。
正确答案
略
(I)是二次函数,且
的解集是
可设
在区间
上的最大值是
,由已知,得
(II)方程等价于方程
设则
当时,
是减函数;
当时,
是增函数。
方程
在区间
内分别有惟一实数根,而在区间
内没有实数根,
所以存在惟一的自然数使得方程
在区间
内有且只有两个不同的实数根。
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