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题型:简答题
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简答题

已知函数处取得极值.

(1)求的值;(2)求的单调区间.

正确答案

(1)

(2)的单调增区间为的单调减区间为.

试题分析:(1)由已知

因为处取得极值,所以1和2是方程的两根

(2)由(1)可得 

时,是增加的;

时,是减少的。

所以,的单调增区间为的单调减区间为.

点评:中档题,本题属于导数的基本应用问题。在给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数。

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题型:简答题
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简答题

已知函数,其中为自然对数的底数.

(Ⅰ)当时,求曲线处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;

(Ⅱ)若函数存在一个极大值和一个极小值,且极大值与极小值的积为,求

值.

正确答案

(Ⅰ)所求面积为. (Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ),    当时,

,所以曲线处的切线方程为切线与轴、轴的交点坐标分别为, 所以,所求面积为.

(Ⅱ)因为函数存在一个极大值点和一个极小值点,

所以,方程内存在两个不等实根,

.  ,则

为函数的极大值和极小值,

因为,,所以,

解得,,此时有两个极值点,所以.

点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)涉及方程实根的讨论及研究,运用了韦达定理,轻声道切线斜率,等于函数在切点的导函数值。

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题型:简答题
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简答题

设函数f(x)=(1+x)2-2ln (1+x).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若关于x的方程f(x)=x2xa在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.

正确答案

(1)f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).

(2)(2-2ln 2,3-2ln 3].

试题分析:解 (1)函数的定义域为(-1,+∞),

因为f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),

所以f′(x)=2

f′(x)>0,得x>0;由f′(x)<0,得-1<x<0,

所以,f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).

(2)方程f(x)=x2xa,即xa+1-2ln(1+x)=0,

记g(x)=xa+1-2ln(1+x)(x>-1),

则g′(x)=1-

由g′(x)>0,得x>1;

由g′(x)<0,得-1<x<1.

所以g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.

为使f(x)=x2xa在[0,2]上恰有两个相异的实根,

只须g(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根,

于是有

解得2-2ln 2<a≤3-2ln 3,

故实数a的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3].

点评:解决的关键是根据导数判定函数单调性,以及函数的零点问题,属于中档题。

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题型:简答题
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简答题

已知函数,在x=1处连续.

(I)求a的值;

(II)求函数的单调减区间;

(III)若不等式恒成立,求c的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)(Ⅱ)函数(Ⅲ)c的取值范围为

(I)由处连续,

可得,故                                                         …………2分

(II)由(I)得

所以函数                                            …………7分

(III)设

故c的取值范围为

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简答题

已知函数

(1)   求f(x)的单调区间;

(2)   证明:lnx<

正确答案

(1)在<0,f(x)递减;在上,>0,f(x)递增.

(2)证明见解析。

(1)函数f(x)的定义域为…………2分

①当时,>0,f(x)在上递增.………………………………4分

②当时,令解得:

,因(舍去),故在<0,f(x)递减;在上,>0,f(x)递增.…………8分

(2)由(1)知内递减,在内递增.

……………………………………11分

,又因

,得………………14分

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简答题

己知函数 .

(I)若是,的极值点,讨论的单调性;

(II)当时,证明:.

正确答案

(I)当单调递增;当单调递减; (II)证明过程如下解析.

试题分析:(I)由是函数的极值点,可得,进而可得,进而分析的符号,进而可由导函数的符号与函数单调性的关系,可得函数的单调性;

(II) 要求,不易证明.但当,进而转化证明.可由图像法确定零点的位置进而确定的单调性及,得证.

试题解析:(I) 因为,所以,且.又因是,的极值点,所以,解得,所以.另,此时单调递增;当时,解得,此时单调递减.

(II) 当时,,所以.令,只需证 .令,即,由图像知解唯一,设为,则.所以当时,单调递增;当时,单调递减.所以,因为,所以.综上,当时,.

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简答题

(本小题13分)已知函数

(1)若实数求函数上的极值;

(2)记函数,设函数的图像轴交于点,曲线点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为则当时,求的最小值.

正确答案

(1)有极小值.(2)2.

试题分析:(1)求函数的导数,然后确定函数f(x)的单调区间,在进一步求出极值即可.

(2)求出g(x)的解析式,求出P(0,1+a),由导数的几何意义求出P点处的斜率,在求出切线方程,写出S(a)的表达式,由基本不等式的性质求其最小值即可.

试题解析:(1)

时,由

,则,所以恒成立,

所以单调递增,无极值。

,则单调递减;

单调递增。

所以有极小值

(2)=

,即

点处切线斜率:

点处切线方程:

,令

所以

当且仅当

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简答题

已知函数

(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;

(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在

,使得. 试用这个结论证明:若函数

(其中),则对任意,都有

(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都

.

正确答案

(Ⅰ) ;(2)详见解析;(3)详见解析.

试题分析:(Ⅰ)利用导数法判断函数的单调性,根据函数在极值时有极值求出参数的值;(Ⅱ)构造新函数再利用导数法求解;(Ⅲ)由已知条件得出,再利用第(Ⅱ)问的结论对任意,都有求解.

试题解析:(Ⅰ)由题设,函数的定义域为,且

所以,得,此时.

时,,函数在区间上单调递增;

时,,函数在区间上单调递减.

函数处取得极大值,故                 4分

(Ⅱ)令

.

因为函数在区间上可导,则根据结论可知:存在

使得                                7分

时,,从而单调递增,

时,,从而单调递减,

故对任意,都有         .           9分

(Ⅲ),且

 

同理,                12分

由(Ⅱ)知对任意,都有,从而

.     14分

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简答题

已知函数,其中.

(1)若对一切恒成立,求的取值范围;

(2)在函数的图像上取定两点,记直线 的斜率为,证明:存在,使成立.

正确答案

(1)

(2)由题意可得

试题分析:(1),令

单调递减;当时,单调递增

∴当时, 有最小值

于是对于一切,恒成立,当且仅当    ①

,则

时,取最大值1,当且仅当时,①式成立

综上所述的取值的集合为

(2)由题意可得

单调递减;当时,单调递增。故当时,

,又

所以

所以存在,使

点评:典型题,在给定区间,导数非负,函数为增函数,导数非正,函数为减函数。求函数的极值问题,基本步骤是“求导数、求驻点、研究单调性、求极值”。“恒成立问题”往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解答。

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题型:简答题
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简答题

已知是二次函数,不等式的解集是在区间上的最大值是12。

(I)求的解析式;

(II)是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。

正确答案

(I)是二次函数,且的解集是

可设

在区间上的最大值是,由已知,得

(II)方程等价于方程

时,是减函数;

时,是增函数。

方程在区间内分别有惟一实数根,而在区间内没有实数根,

所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。

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